2019秋高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算练习（含解析）新人教A版

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1、3.1.3空间向量的数量积运算A级　基础巩固一、选择题1．对于a，b，c向量和实数λ，下列命题中的真命题是(　　)A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c答案：B2．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么

2、a＋3b

3、＝(　　)A．13　B.　C．2D.解析：

4、a＋3b

5、＝＝＝＝.答案：B3．若a与a＋2b的数量积为6，且

6、a

7、＝2，

8、b

9、＝1，则向量a与b之间的夹角为(　　)A.B.C.πD.π答案：B4．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·

10、＝0，M为BC中点，则△AMD是(　　)A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定答案：C5．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，

11、a

12、＝2，

13、b

14、＝3，

15、c

16、＝4，则a与b的夹角为(　　)A．30°B．45°C．60°D．以上都不对答案：D二、填空题6．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，

17、a

18、＝3，

19、b

20、＝1，

21、c

22、＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．解析：因为a＋b＋c＝0，所以(a＋b＋c)2＝0，所以a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，所以a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.答案：－137．已知

23、a

24、

25、＝3，

26、b

27、＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________．解析：由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，所以a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，所以18＋(λ＋1)·3×4cos135°＋16λ＝0，即4λ＋6＝0，所以λ＝－.答案：－8．已知向量a与b的夹角为135°，且

28、a

29、＝

30、b

31、＝4，则a·(2a－b)＝________．解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2×42－4×4·cos135°＝32＋8答案：32＋8三、解答题9．如图所示，在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠BAD＝120°，PA⊥平面

32、ABCD，PA＝6.求PC的长．解：因为＝＋＋，所以

33、

34、2＝·＝(＋＋)2＝

35、

36、2＋

37、

38、2＋

39、

40、2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2·

41、

42、·

43、

44、·cos120°＝49.所以

45、

46、＝7，故PC的长为7.10．如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为.(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．(1)证明：＝＋，＝＋.因为BB1⊥平面ABC，所以·＝0，·＝0.又△ABC为正三角形，所以〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝.因为·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋2＋·＝

47、

48、·

49、

50、·cos〈·〉＋2＝－1＋1＝0，所以AB1⊥BC

51、1.(2)解：结合(1)知·＝

52、

53、·

54、

55、·cos〈，〉＋2＝2－1.又

56、

57、＝＝＝

58、

59、，所以cos〈，〉＝＝.所以

60、

61、＝2，即侧棱长为2.B级　能力提升1．已知空间向量a，b，c，两两夹角为60°，其模都为1，则

62、a－b＋2c

63、＝(　　)A.B．5C．6D.解析：因为

64、a

65、＝

66、b

67、＝

68、c

69、＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，所以a·b＝b·c＝a·c＝，a2＝b2＝c2＝1.所以

70、a－b＋2c

71、＝＝＝＝＝.答案：A2．已知

72、a

73、＝2，

74、b

75、＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．解析：由题

76、意知即⇒λ2＋2λ－2<0.所以－1－<λ<－1＋.答案：(－1－，－1＋)3.在棱长为1的正方体ABCDA′B′C′D′中，E，F分别是D′D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C′G的中点．(1)求EF，C′G所成角的余弦值；(2)求FH的长．解：设＝a，＝b，＝c，则a·b＝b·c＝c·a＝0，

77、a

78、2＝a2＝1，

79、b

80、2＝b2＝1，

81、c

82、2＝c2＝1.(1)因为＝＋＝－c＋(a－b)＝(a－b－c)，＝＋＝－c－a，所以·＝(a－b－c)·＝(－a2＋c2)＝，

83、

84、2＝(a－b－c)2＝(a2＋b2＋c2)＝，

85、

86、2＝＝c2＋a2＝，所以

87、

88、＝，

89、

90、

91、＝，cos〈，〉＝＝，所以EF，C′G所成角的余弦值为.(2)因为＝＋＋＋＝(a－b)＋b＋c＋＝(a－b)＋b＋c＋＝a＋b＋c，所以

92、

93、2＝＝a2＋b2＋c2＝，所以FH的长为.