高一数学二次函数的综合问题人教版

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1、高一数学二次函数的综合问题人教版【本讲教育信息】一.教学内容：二次函数的综合问题二.教学重难点：含有参数的或在给定区间上的二次函数问题，讨论可化为二次函数的问题及二次函数与方程，不等式的综合问题。【典型例题】[例1]求函数在上的最大值。解：函数图象的对称轴方程为，应分，，即，和这三种情形讨论，下列三图分别为（1）；（2）；（3）时的草图。由图易知：；即[例2]已知函数（1）设A、B是的两个锐角，且、是方程的两个实根，求证：；（2）当时，函数的最大值是8，求的值。证明：（1）方程即为依题意，得（2）∵∵而∴当时，取得最大

2、值由题意知∴[例3]已知函数（、，），，当时，恒有，且对于任意实数、，总有，求函数的解析式。解：由，得F（0）=0在中，令，得∴∴是偶函数因此∴又在上恒有所以，即，亦即又∴，故[例4]已知二次函数满足条件及（1）求；（2）求在区间上的最大值和最小值解：（1）设，由，可知∵故由得，因而，所以（2）∵，所以当时，的最小值为当时，的最大值为[例5]某企业甲将经营状态良好的某种消费品专卖店以58万元的优惠价转让给企业乙，约定乙用经营该店的利润偿还转让费（不计息）。已知经营该店的固定成本为6.8万元/月，该消费品的进价为16元/

3、件，月销售量（万件）与售价（元）的关系如图所示。（1）写出销售与售价的函数关系式；（2）当售价定为多少时，月利润最多？（3）企业乙最早可望在经营该专卖店几个月后还清转让费？解：（1）根据函数图象得（2）设月利润为W（万元），则当时，故时，当时，，故时，∴当售价定为23元/件时，月利润最多为3万元。（3）设最早个月后还清转让费，则，∴企业乙最早可望20个月后还清转让费。[例6]是否存在常数，使函数在上是减函数且在上是增函数？解法1：设，则原函数转化为那么问题就等价于是否存在常数，使函数在上是减函数且在上是增函数，根据二次

4、函数的性质知，只需，故解法2：任取，则 由在上是减函数可知，对任意的（*）恒成立所以有恒成立，即恒成立∵∴因此，当时，（*）恒成立即当时，函数在上是减函数仿上可得当时，函数在上是增函数故存在常数，使函数在上是减函数，且在上是增函数。[例7]已知函数，（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意，恒成立，试求实数的取值范围解：（1）当时，，先证在区间上为增函数（略）∴在区间上的最小值为（2）解法1：在区间上，恒成立恒成立，在上递增∴当时，于是当且仅当时，函数恒成立，故解法2：，，当时，函数的值恒为正当时，函数递增，故当时，

5、于是当且仅当时，函数恒成立故，综上，的取值范围是[例8]已知函数（）的图象上有两点A（，）、B（，），且满足，。（1）求证：（2）求证：的图象被轴所截得的线段长的取值范围是证明：（1）即∴或∴或是即的实根于是即∵∴将代入上述不等关系，得，即，又∴必有，（否则与矛盾）∴∴（2）设两根为、，则一个根为1（∵），另一根为，∵且由上知，∴，∴，【模拟试题】（答题时间：70分钟）一.选择题：1.设二次函数（），如果（其中），则等于（）A.B.C.D.2.二次函数的图象的顶点在轴上，且、、为的三边长，则为（）A.锐角三角形B.直角

6、三角形C.钝角三角形D.等腰三角形3.已知函数在区间上是增函数，则的范围是（）A.B.C.D.4.如图所示，是二次函数的图象，则等于（）A.B.C.D.无法确定5.与（）的图象只可能是（）6.若为偶函数，则在区间（，）上（）A.是增函数B.是减函数C.增减性随的变化而改变D.无单调性二.填空：1.已知函数，给出下列命题：①必为偶函数②当时，的图象必关于直线对称③若，则在区间上是增函数④有最大值其中正确命题的序号是。2.若，的图象关于直线对称，则。3.函数（）的反函数的定义域是。4.函数，当时是减函数，当时是增函数，则。

7、三.解答题：1.已知二次函数的图象与直线有公共点，且不等式的解是，求、、的取值范围。2.已知函数在区间[0，2]上有最小值3，求的值。3.已知函数（1）当时，；当时，求、的值及的表达式；（2）设，取何值时，函数的值恒为负值？4.设函数（），，且方程有实根。（1）证明：，（2）若是方程的一个实根，判断的正负并加以证明。5.已知函数（，、），设关于的方程的两根为、，的两实根为、。（1）若，求、关系式；（2）若、均为负整数，且，求解析式；（3）若，求证：【试题答案】一.1.D2.B3.A4.B5.D6.A二.1.③2.63.

8、4.19三.1.解：依题意有解，故，又不等式的解是，∴且有，，∴，，∴，代入得，∴，故得、、的取值范围为，，2.解：∵①当时，即时，函数在上是增函数∴，由，得∵∴②当，即时，由，得，舍去③当，即时，函数在上是减函数，由，得∵∴综上所述，或3.解：（1）由题意知，，即两式相减并注意到，解得，∴，∴（2）要使恒小于零必须∴时，恒为负数