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时间:2018-12-17
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1、二次函数的综合问题例题解析一.本周教学内容:二次函数的综合问题二.本周教学重难点:含有参数的或在给定区间上的二次函数问题,讨论可化为二次函数的问题及二次函数与方程,不等式的综合问题。【典型例题】[例1]求函数在上的最大值。解:函数图象的对称轴方程为,应分,,即,和这三种情形讨论,下列三图分别为(1);(2);(3)时的草图。由图易知:;即[例2]已知函数(1)设A、B是的两个锐角,且、是方程的两个实根,求证:;(2)当时,函数的最大值是8,求的值。证明:(1)方程即为依题意,得(2)∵∵而∴当时,取得最大值由题意知∴[例3]已知函数(、,),,当时,恒
2、有,且对于任意实数、,总有,求函数的解析式。解:由,得F(0)=0在中,令,得∴∴是偶函数因此∴又在上恒有所以,即,亦即又∴,故[例4]已知二次函数满足条件及(1)求;(2)求在区间上的最大值和最小值解:(1)设,由,可知∵故由得,因而,所以(2)∵,所以当时,的最小值为当时,的最大值为[例5]某企业甲将经营状态良好的某种消费品专卖店以58万元的优惠价转让给企业乙,约定乙用经营该店的利润偿还转让费(不计息)。已知经营该店的固定成本为6.8万元/月,该消费品的进价为16元/件,月销售量(万件)与售价(元)的关系如图所示。(1)写出销售与售价的函数关系式;
3、(2)当售价定为多少时,月利润最多?(3)企业乙最早可望在经营该专卖店几个月后还清转让费?解:(1)根据函数图象得(2)设月利润为W(万元),则当时,故时,当时,,故时,∴当售价定为23元/件时,月利润最多为3万元。(3)设最早个月后还清转让费,则,∴企业乙最早可望20个月后还清转让费。[例6]是否存在常数,使函数在上是减函数且在上是增函数?解法1:设,则原函数转化为那么问题就等价于是否存在常数,使函数在上是减函数且在上是增函数,根据二次函数的性质知,只需,故解法2:任取,则 由在上是减函数可知,对任意的(*)恒成立所以有恒成立,即恒成立∵∴因此,当时
4、,(*)恒成立即当时,函数在上是减函数仿上可得当时,函数在上是增函数故存在常数,使函数在上是减函数,且在上是增函数。[例7]已知函数,(1)当时,求函数的最小值;(2)若对任意,恒成立,试求实数的取值范围解:(1)当时,,先证在区间上为增函数(略)∴在区间上的最小值为(2)解法1:在区间上,恒成立恒成立,在上递增∴当时,于是当且仅当时,函数恒成立,故解法2:,,当时,函数的值恒为正当时,函数递增,故当时,于是当且仅当时,函数恒成立故,综上,的取值范围是[例8]已知函数()的图象上有两点A(,)、B(,),且满足,。(1)求证:(2)求证:的图象被轴所截
5、得的线段长的取值范围是证明:(1)即∴或∴或是即的实根于是即∵∴将代入上述不等关系,得,即,又∴必有,(否则与矛盾)∴∴(2)设两根为、,则一个根为1(∵),另一根为,∵且由上知,∴,∴,一.选择题:1.设二次函数(),如果(其中),则等于()A.B.C.D.2.二次函数的图象的顶点在轴上,且、、为的三边长,则为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形3.已知函数在区间上是增函数,则的范围是()A.B.C.D.4.如图所示,是二次函数的图象,则等于()A.B.C.D.无法确定5.与()的图象只可能是()6.若为偶函数,则在区间(,)
6、上()A.是增函数B.是减函数C.增减性随的变化而改变D.无单调性二.填空:1.已知函数,给出下列命题:①必为偶函数②当时,的图象必关于直线对称③若,则在区间上是增函数④有最大值其中正确命题的序号是。2.若,的图象关于直线对称,则。3.函数()的反函数的定义域是。4.函数,当时是减函数,当时是增函数,则。三.解答题:1.已知二次函数的图象与直线有公共点,且不等式的解是,求、、的取值范围。2.已知函数在区间[0,2]上有最小值3,求的值。3.已知函数(1)当时,;当时,求、的值及的表达式;(2)设,取何值时,函数的值恒为负值?4.设函数(),,且方程有实
7、根。(1)证明:,(2)若是方程的一个实根,判断的正负并加以证明。5.已知函数(,、),设关于的方程的两根为、,的两实根为、。(1)若,求、关系式;(2)若、均为负整数,且,求解析式;(3)若,求证:[参考答案]http://www.DearEDU.com一.1.D2.B3.A4.B5.D6.A二.1.③2.63.4.19三.1.解:依题意有解,故,又不等式的解是,∴且有,,∴,,∴,代入得,∴,故得、、的取值范围为,,2.解:∵①当时,即时,函数在上是增函数∴,由,得∵∴②当,即时,由,得,舍去③当,即时,函数在上是减函数,由,得∵∴综上所述,或3.
8、解:(1)由题意知,,即两式相减并注意到,解得,∴,∴(2)要使恒小于零必须∴时,恒为负数4.
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