数学：用例题浅谈二次函数的综合问题

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1、二次函数综合问题例谈二次函数是中学代数的基本内容Z—，它既简单又具有丰富的内涵和外延.作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，述对建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平而曲线讨论相互之间关系.这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题.同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是学生进入髙校继续深造的重要知识基础.因此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了.学习二次函数

2、，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征.从解析式岀发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基木数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是屮学数学屮一种非常垂要的思想方法.本文将从这两个方面研究涉及二次函数的一些综合问题.1.代数推理由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形(一般式、顶点式、零点式等),所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导岀二次函数的有关性质.1.1二次函数的一般式y=ax2+/?x+c(chO)中有三个

3、参数a,b,c.解题的关键在于：通过三个独立条件“确定”这三个参数.例1已^f(x)=ax2+bxf满足1

4、(/(D+/(-D),b=

5、(/(1)-/(-D

6、)将以上二式代入/(兀)=处2+&,并整理得+/(-!)x2-x・・・/⑵=/(1)+3/(-1).又・・・2

7、/(0)

8、<1,

9、/(1)

10、<1,

11、/(-1)

12、<1,试证明：对于任意一15x51,有

13、/(x)

14、<・分析：同上题,可以用/(0),/(1),/(-1)来表示a,b,c・解：Tf(一1)=a_方+c,f()=a+b+c,/(0)=c,心£(/(1)+/(-1)-2/(0))"=*(/(1

15、)-/(-l)),c=/(0),+/(—1・・.当一1＜兀＜0时,•心<

16、/(1卜x2+xx2+彳x2-x+—+1_X*212

17、l-x2-F)=-x2+x+l综上，问题获证.1.2利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式y=a{x-x^x-x2例3设二次函数/(兀)=ax2+bx+c(a＞0),方程/(x)-x=0的两个根山宀满当XW(O,X])时，证HJ]x

18、的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数f(x)-x的表达式，从而得到函数/(兀)的表达式.证明：由题意可知f(x)-x=a(x-xl)(x-x2).0%.又/(x)-Xj=a(x-Xj)(x-x2)+x-x,=(x-Xj)(ax-ax2+1),x-x}<0,且qx-ax2+1>1-ax2>0,・•・/⑴综上可知，所给问题获证.(bV4ac—b，1.3紧扣二次函数的顶点式y=ox+—+，对称轴.最值.判别

19、式显合V2a)4a力例4已知函数f(x)=2z--^o2(1)将y=/(x)的图象向右平移两个单位,得到函数y=g(x),求函数y=g(x)的解析式；(2)函数y=/i(兀)与函数y=g(兀)的图象关于直线y=1对称，求函数y=h(x)的解析式；(3)设F(x)=-/W+/?(%),已知F(兀)的最小值是加且加＞2+J7,求实数a的a取值范围。解：仃)也)*(一2)=2"一启；(2)设y=h(x)的图像上一点P(x,y),点P(x,y)关于y=1的对称点为g(x,2—y),市点q在=g(x)的图像上

20、，所以2"寺2—y,于是即y=2-2x~2h(x)=2-2x~2(3)<11、F⑴二丄f(x)+h(x)=2X+a4—ci4a—I设t=2则F(x)=—7+—+2.4at问题转化为：上纟f+色二!■+2〉2+J7对f〉()恒成立.即4at上纟尸—你+(4q_i)〉0对f>0恒成立.(*)4d故必有上£〉0・(否则，若上纟<0,则关于r的二次函数4a4au(t)=^-t2一伤+(4°-1)开口向下，当/充分大时，必有曲)<0；而当上£=0时,4a4a显然不能保证(*)