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《2010-2011学年微A下期中试题详细解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、北京理工大学2010-2011学年第二学期《微积分A》期中试题解答一、填空题（每小题4分，共20分）B=,0D=01.解：过y轴的平面方程（一般方程中）为Ax+Cz=0M,3(−,2−)1将点0代入方程即得C=3A，故平面方程为x+3z=;0∂uzπ∂uxz12.解：=(arctan)=−，=(−)=−，22∂xy4∂yy+z4M0M0M0M0∂uxy1r0111=()=−，l={,,−}.22∂zy+z4333M0M0⎧∂u∂u∂u⎫1故gradu
2、M=⎨,,⎬=−{π1,1,};0∂x∂y∂z4⎩⎭M0∂uv011113πr=()gradu⋅l=−[π×+1×+1×(−)]=−
3、∂lM0412M3330典型错误：把方向导数写成向量.3.解：积分区域D如图，yy332所以I=∫dy∫3eydxD00132y=3xy=∫yedy30o1x13y22=∫ed(y)6031y219=e=(e−1);660224.解：曲面z=x+2y在点M,1,1()3处的法向量0r⎧⎪∂z∂z⎫⎪n=k⎨,,−1⎬=k{},4,2−1,(k≠)0⎪⎩∂xM∂yM⎪⎭00r01故单位法向量n=±,4,2{−1},21x−1y−1z−3法线的标准方程为==;24−1典型错误：只给出上述一个单位法向量.f(x)0,−f)0,0(−x5.解：f′)0,0(=lim=lim=−,1xx→0
4、xx→0xf,0(y)−f)0,0(yf′)0,0(=lim=lim=,1yy→0yx→0y典型错误：该题未填空的或填错的较多，反映了学生只关注求偏导数，而对偏导数的定义不清楚.rrrr二、解：(1)(a⋅c)=1×3+1×(−)5+1×4=2，(a⋅b)=1×1+1×2+1×(−)2=1rrrrrrr故d=(a⋅c)b+(a⋅b)c=2{,2,1−2}+{,3−4,5}=,5{−0,1};rrra⋅d1×5+1×(−)1443(2)(d)ar=r===;
5、a
6、12+12+1233rrrijkrr(3)a×d=111=,5,1{−6}.5−10典型错误：把(3)答案写为,1{−,5
7、−}6。在叉积的运算中第二个坐标最易出错，错误往往就差一个负号，说明行列式的运算不过关.∂z三、解：=fy′+gy′f′,12∂x2∂z′′″″″=f+g′f+xyf+y[g′(x)x+g(x)]f+gy′(x)g(x)f.12111222∂x∂yg(x)x=1由题意知：g′)1(=0（题设条件：可导且在处取得极值），g)1(=,12∂z′″″所以
8、=f)1,1(+f)1,1(+f1,1().x=111112∂x∂yy=12∂z典型错误：(1)计算时有漏项;∂x∂y(2)未根据题意找出隐含的条件g′)1(=0.四、解：积分区域D如图，在极坐标变换下，yππ区域D:−≤θ≤,cosθ
9、≤ρ≤2cosθ22Do1x122I=∫∫(2x+y)dxdy2Dππ22cosθ3431π45=2dθρdρ=152cosθdθ=15×××=π.∫−π∫cosθ∫0422162典型错误：(1)区域D:0≤θ≤2π,cosθ≤ρ≤2cosθ；⎧n−1n−32π⋅⋅L⋅⋅1n为正奇数⎪(2)不会利用I=2cosnxdx=nn−23n∫⎨0n−1n−31π⎪⋅⋅L⋅⋅n为正偶数⎩nn−222π计算∫2cos4θdθ.0∂f∂f2五、解：令=2x−4y=0，=−4x−4y+3y=0∂x∂y解得驻点：0,0(),)4,8(222∂f∂f∂f=,2=−,4=−4+6y.22∂x∂x∂y∂y
10、2在点)0,0(，A=,2B=−,4C=−4，Δ=AC−B=−24<0，所以点)0,0(不是极值点；2在点)4,8(，A=2>,0B=−,4C=20,Δ=AC−B=24>0，所以点)4,8(是极小值点，且极小值为f)4,8(=−32.2典型错误：(1)不会用Δ=AC−B的符号判别；2(2)把判别的准则记错，把Δ=AC−B<0判别为是极值点.六、解：积分区域Ω如图，z1法1(坐标面投影法)：往xoyx+2y+z=1坐标面作投影，则D如图，xyO1y21x⎧0≤x≤1⎪1−x故Ω:⎨0≤y≤⎪2⎩0≤z≤1−x−2yI=∫∫∫xdxdydzΩ1−xy11−x−2y=∫dx∫2dy∫xd
11、z0001x+2y=12D1−xxy1=∫dx∫2x1(−x−2y)dyo100x11231=∫(x−2x+x)dx=.4048法2(轴截面法)：往轴上作投影，xD如图，zx1−xI=∫∫∫xdxdydzΩ2y+z=1−x11=xdxdydz=x⋅(D的面积）dxDx∫0∫∫∫0xDxo1−xy211(−x)1−x=t1122=∫x⋅dx∫1(−)ttdt044011231=∫(t−t)dt=.4048典型错误：定累次积分的上下限错误.r七、解：已知直线L的方向向量为
