2013-2014学年微A下期中试题.pdf

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1、课程编号：MTH17005北京理工大学2013-2014学年第二学期2013级《微积分A》期中试题一.填空题（每小题4分,共20分）rπrr1.设向量a的方向角分别为α=，β为锐角，γ=π-β，且

2、a

3、=,4则a=______________.3⎧x=1x+1y+2z−1⎪2.与两直线==及⎨y=−1+t都平行，并且过原点的平面方程为：121⎪⎩z=2+t_______________________.xz3.设函数z=z(x,y)由方程=ln确定，则dz=_______________________

4、.zy22x4.设I=dxf(x,y)dy,则交换积分次序后I=______________________________.∫∫20x−2x26x+y5.设fxye(,)=，则函数在(0,0)点关于x的偏导是否存在：______(是、否)在(0,0)点关于y的偏导是否存在：______(是、否)y22y二.(8分)设z=f(xe,x−y)+g(),其中f有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数，x2∂z∂z求,.∂x∂x∂y3三.(8分)设D是由直线y=x,y=2和曲线x=y所围成的区域，计算二重积分xI

5、=∫∫sindxdy的值.yDxx四.(8分)设A,2,3(−3),B)0,6,3(，求数量场u=y+arctan在点A处的梯度及u在A点沿zAB方向的方向导数.12222五.(8分)求锥面z=3−(3x+y）与球面z=1+1−x−y所围成的立体V的体积.2⎧x−z=0六.(8分)求曲线C:⎨在点P,1(−)1,2处的切线L的标准方程；并证明该切线⎩3x+2y+1=0⎧3x−5y+5z=0L与直线L1:⎨垂直.⎩x+5z+1=022七.(8分)求函数f(x,y)=x+4xy+9y−2x+y的极值点和极值

6、.31065z3222八.(8分)计算I=∫∫∫(xy+xye+z)dV，其中V是由球面x+y+z=2z与锥面V2222z=x+y所围成的空间区域.（注：取z≥x+y部分）22x2z九.(8分)设有椭球面S:+y+=1及平面π2:x+2y+z+5=0,24（1）在椭球面S上求一点M(x,y,z)使其切平面与π平行；000（2）利用拉格朗日乘数法求S与π的最短距离2⎧x=2z十.(8分)设曲线⎨绕z轴旋转一周所生成的曲面为S,曲面S与平面z=,1z=2围⎩y=0成的空间区域记为Ω.(1)写出曲面S的方程；

7、1(2)计算三重积分I=dxdydz.∫∫∫222x+y+zΩ22十一.(8分)设函数f(u)在,0(+∞)内具有二阶连续导数，且z=f(x+y)满足等式22∂z∂z+=.022∂x∂yf′(u)(1)验证f′′(u)+=;0u(2)若f)1(=,0f′)1(=1，求函数f(u)的表达式.2