2010-2011学年微A下期中试题答案

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1、北京理工大学2010-2011学年第二学期《微积分A》期中试题解答一、填空题（每小题4分，共20分）1.x+3z=;01∂u3π2.gradu

2、=−{π1,1,};r=−;M04∂lM120y3213y93.I=∫dy∫edx,(e−1);006r01x−1y−1z−34.n=±,4,2{−1},==;2124−15.f′)0,0(=−,1f′)0,0(=.1xyr二、(1)d=,5{−0,1};rrra⋅d43(2)(d)ar=r=;

3、a

4、3rrrijkrr(3)a×d=111=,5,1{−6}.5−10∂z三、=fy′+gy′f′,1

5、2∂x2∂z′′″″″=f+g′f+xyf+y[g′(x)x+g(x)]f+gy′(x)g(x)f.12111222∂x∂y由题意知：g′)1(=,0g)1(=,1所以2∂z′″″

6、=f)1,1(+f)1,1(+f1,1().x=111112∂x∂yy=122四、I=∫∫(2x+y)dxdyDπ2cosθ23=2dθρdρ∫−π∫cosθ2π=15∫2cos4θdθ031π45=15×××=π.42216∂f五、=2x−4y=0∂x∂f2=−4x−4y+3y=0∂y解得驻点：0,0(),)4,8(222∂f∂f∂f=,2=−,4=−4+6

7、y.22∂x∂x∂y∂y在点)0,0(2A=,2B=−,4C=−4，Δ=B−AC=24>0，所以点)0,0(不是极值点；在点)4,8(2A=2>,0B=−,4C=20,Δ=B−AC=−24<0，所以点)4,8(是极小值点，且极小值为f)4,8(=−32.六、I=∫∫∫xdxdydzΩ1−x11−x−2y=∫dx∫2dy∫xdz0001−x1=∫dx∫2x1(−x−2y)dy001123=∫(x−2x+x)dx401=.48r七、设直线L的方向向量为s={m,n,p}，r直线L的方向向量为s=,2{−,1−}111rr由题意，L⊥L,⇒s⋅

8、s=0，所以有2m−n−p=011rr取点M)2,0,1(∈L,又因为L与L相交,所以向量s，s，MM=}0,1,0{共面，11111mnp有2−1−1=m+2p=0010有m=−2p,n=−5pr所以L的方向向量为：s={−5p,−2p,p}//{,5,2−}1⎧x=1+2t⎪所以L的参数方程为：⎨y=−1+5t⎪⎩z=2−t（注：此题还有其他解法）222八、用柱坐标，F(t)=∫∫∫[f(x+y)+z]dVV2πt222=∫dθ∫ρdρ∫[f(ρ)+z]dz000t82=2π∫ρ2[f(ρ)+]dρ03t822=4π∫ρf(ρ)dρ+

9、πt.03dF216π=4πft(t)+t.dt3九、方程两边取微分，得ydz−zdxxdz−zdxF′(dx+)+F′(dy+)=01222yx整理得22y(zF′−xF′)x(zF′−yF′)2112dz=dx+dy22xF′+xyF′xyF′+yF′121222∂zy(zF2′−xF1′)∂zx(zF1′−yF2′)∴=,=22∂xxF′+xyF′∂yxyF′+yF′1212∂z∂zx+y=z−xy∂x∂y（注：求偏导数时还有其他方法）22十、Ω在xoy面上的投影区域为D:x+y≤3，2222πz=2+4−x−y⇒r=4cosϕ，z

10、=(3x+y)⇒ϕ=6由对称性，知3333I=∫∫∫(x+y+z)dxdydz=∫∫∫zdxdydzΩΩπ2π4cosϕ653=∫dθ∫dϕ∫rcosϕsinϕdr00012π2π91562=∫64sinϕcosϕdϕ=π.301512十一、目标函数为：V=πRh22约束条件为：S=πR+πRh122构造拉氏函数：F(R,h)=πRh+λ(πR+πRh−S)2⎧FR′=πRh+λ2(πR+πh)=0⎪⎪12⎨Fh′=πR+λπR=0⎪22⎪⎩S=πR+πRhhSS解得唯一驻点为：R==,h=223π3πhSS由问题的实际意义知，当R==,

11、h=2时，此容器容积最大，23π3πSSV=.最大33π