2013-2014学年微A下期中试题答案

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1、2013-2014第二学期《微积分A》期中试题解答（2014.4）一．1.{2，6，−6}2.x−y+z=02zz3.dz=dx+dyx+zy(x+z)01+y+1224.∫dy∫f(x,y)dx+∫dy∫y2f(x,y)dx−11−y+1025.否，是∂zyy二.=ef′+2fx′−g′122∂xx2∂zy2yy21y=ef1′+xef11′′⋅+2e(x−y)f12′′−4xyf22′′−2g′−3g′′∂x∂yxx三.积分区域如图yx=y2D2y33xx=yI=∫dy∫sindx11yy18x22=∫y(cos1−cosy)dy−11131

2、=sin1+cos1−sin.4222043四.AB=,0{,4}3,AB=,0{,}55∂uxz∂ux−1∂u−x=ylny+，=xy，=2222∂xx+z∂y∂zx+z∂u1∂u∂u1A=8ln2−，A=12，A=−∂x6∂y∂z6111gradu

3、A=8{ln2−,12,−}66∂u143119=0×8(lnz−)+×12+×(−)=∂AB65562⎧22z⎪z=3−(3x+y)3五．两曲面交线为：⎨22，⎪⎩z=1+1−x−y2V⎧2233x+y=⎪变形为：⎨4，23⎪z=⎩23y22交线在xoy面的投影为：x+y=4x223立体V在xo

4、y面上的投影区域为D:x+y≤42222解法1：立体V的体积=∫∫3[−(3x+y)−1(+1−x−y)]dxdyD32ππ=dθ22(−3ρ−1−ρ2)ρdρ=.∫∫006解法2：331立体V的体积=半径为高为的圆锥的体积−半径为1高为球缺的体积2221323121135=π=π（）×−π（）（1−×）=π−π.3222328246−3t−12六.曲线参数方程x=t,y=,z=t2r33切向量TP=,1{−2,t}P=,1{−}2,//{,2−}4,322x−1y+2z−1切线L的标准方程为：==2−342r直线L1的方向向量s1=,3{−}5

5、,5×}5,0,1{={−25,−10}5,rr3由于T⋅s1=1×(−25)+×10+2×5=02rr所以T⊥s1,故切线L垂直于L1.七.令fx′(x,y)=2x+4y−2=01fy′(x,y)=4x+18y+1=0，得驻点：M,2(−)2又记A=fxx′′(x,y)=,2B=fxy′′(x,y)=,4C=fyy′′(x,y)=182有AC−B=20>0，且A=2>,011知函数f(x,y)在驻点M,2(−)处取得极小值，M,2(−)为极小值点，2219极小值为f,2(−)=−.2465z八.积分区域V关于zox及xoy坐标面对称，xye关于

6、变量y为奇函数，310xy关于变量x为奇函数，所以有31065z33I=∫∫∫(xy+xye+z)dV=∫∫∫zdVVV解法1（球坐标变换）π2π2cosϕ453I=∫dθ∫dϕ∫rcosϕsinϕdr000ππ2cosϕ64=2π4dϕr5cos3ϕsinϕdr=π4cos9ϕsinϕdϕ∫0∫0∫03π64110431=π(−cosϕ)=π.310150解法2（轴截面法）31233I=∫0zdz∫∫dxdy+∫1zdz∫∫dxdy222222x+y≤zx+y≤2z−z123232=π∫z⋅zdz+π∫z⋅2(z−z)dz011266z25z1

7、5731=π+π(z−)=π+π=π6566301501解法3（柱坐标法）22π11+1−r3I=∫dθ∫rdr∫zdz00r2⎛41+1−r⎞1⎜z⎟π1244=2π∫0r⋅⎜⎟dr=∫r⋅[(1+1−r)−r]dr⎜4⎟20r⎝⎠π12415π=[∫0r1(+1−r)dr−∫0rdr]=[I1−I2]22π1令r=sinθ2244I1=∫r1(+1−r)dr∫sinθ1(+cosθ)cosθdθ00π2令t=cosθ044=−∫1(+cosθ)cosθd(cosθ)−∫1(+t)tdt0111295432=∫(t+4t+6t+4t+t)dt=

8、03011124242或I1=∫r1(+1−r)dr=∫01(+1−r)d(r)022令t=1+1−r112424td1[−(t−)1]=t(t−)1dt则r2=1−(t−)122∫2∫1212954=∫(t−t)dt=130115I=rdr=，2∫06ππ1291π6231∴I=[I−I]=(−)=×=π1222306215154rz0九.（1）切平面的法向量为：n={x0,2y0,}2z022x02y02x02z0由题意有：==，+y0+=1221241x=±,1y=±,z=±1000由此解得：211切点坐标为：,1(1,),(−,1−,−1

9、).22切平面方程为：2x+2y+z−4=0及2x+2y+z+4=.0（2）设P(x,y,z)为曲面S上任意一点，则P到平面π的距离为：