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《2011-2012学年微A下期中试题答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、北京理工大学2011-2012学年第二学期《微积分A》期中试题参考答案1e一、1.S=30；2.I=dyf(x,y)dx；∫0∫ey22⎧x+2y=2x−1yz−13.⎨;4.==,x+y+z−2=;0⎩z=0111∂z∂z5.=2(4ln2+)1,=4.∂xx=1∂yx=1y=1y=1∂z2′2xy′二、=2xf+xcosxf+xyef,13∂x2∂z′xy′2″xy″=2x(−sinyf+xef)+xcosx(−sinyf+xef)231213∂x∂y2xyxy′2xyxy″+x(e+xye)f+xye(−sinfy′′+xef)33233′2xy′2″xy″=−2xsinyf+xe3(
2、+xy)f−xcosx(sinyf−xef)2312132xyxy″−xye(sinfy′′−xef)3233222三、解法1I=∫∫R−x−ydxdyDπ利用对Rcosθ2222∫dθ∫R−ρρdρ称性003π32R32Rπ2=∫21(−sinθ)dθ=(−).30323πRcosθ222解法2I=dθR−ρρdρ∫−π∫023π32R32Rπ2=21(−sinθ)dθ=(−).∫π3−3232出现的严重错误：解法2中有同学未考虑定积分的积分区间，把第二个等式中的绝对值符号漏写，导致错误的结果。1∂f2x22x四、令=2e(x+y+2y)+e=0∂x∂f2x1=e2(y+)2=0解得驻点：
3、(,−)1∂y2222∂f2x2∂f2x∂f2x=4e(x+y+2y+1),=4e(y+1),=2e.22∂x∂x∂y∂y1在点(,−)1222A=2e,B=,0C=2e，Δ=B−AC=−4e<0，1又A=2e>0，所以点(,−)1是极小值点；21e极小值为f(,−)1=−.2254五、由于积分区域关于yoz面对称，所以∫∫∫2xyzdxdydz=0V5422I=∫∫∫2(xyz+xy+z)dxdydz=∫∫∫(xy+z)dxdydzVV111−y2128464221184=2dxdy(xy+z)dz=(x−x+x−x+)dx=.∫0∫x2∫0∫03333945r六、设直线L的方向向量为s=
4、}1,1,1{×,1,1{−}1={−,2,2}0，⎧x=1+t⎪L1的参数方程为：⎨y=t，⎪⎩z=−2−t代入平面π的方程，得L与π的交点坐标为,3(,2−)41x−3y−2z+4所以直线的标准方程为L:==−220222七、V在xoy面上的投影区域为D:x+y≤1，π112πI=∫∫∫dv=∫dθ∫4dϕ∫cosϕrsinϕdr222000Vx+y+zπsinϕ=π∫4dϕ=(2−)1π.0cos2ϕ∂uyz∂z∂z八、=ey−(z+x)sinxz∂x∂x∂x∂z方程f(x−y,xz)=0两边对x求偏导，得，f′+f′(z+x)=012∂x∂zf′+fz′12⇒=−，∂xfx′2∂uy
5、zf1′+fz2′f1′⇒=−ye+sinxz.∂xfx′f′22∂uyz∂z∂z同理：=e(z+y)−xsinxz,∂y∂y∂y∂z方程f(x−y,xz)=0两边对y求偏导，得，−f′+fx′=012∂y∂zf′1⇒=∂yfx′2∂uyzyzf1′f1′⇒=ze+ye−xsinxz.∂yfx′fx′2222九、（1）曲面S的方程为：z=1−x−y22（2）由题意，密度f(x,y,z)=x+y由对称性知：x=y=,022∫∫∫zx+ydxdydzVz=22∫∫∫x+ydxdydzV322π11−ρ4π222解法1（柱坐标法）∫∫∫x+ydxdydz=∫0dθ∫0dρ∫0ρdz=V1522π1
6、1−ρ8π222∫∫∫zx+ydxdydz=∫0dθ∫0dρ∫0zρdz=V10512π1−z4π222解法2（轴截面法）∫∫∫x+ydxdydz=∫0dz∫0dθ∫0ρdρ=V1512π1−z8π222∫∫∫zx+ydxdydz=∫0dz∫0dθ∫0zρdρ=V10522故z=，所以质心坐标为：,0,0().77r110十、l={,−}0,22∂f所以目标函数为：r=(2x−y)∂l222约束条件为：x+2y+3z=6222构造拉氏函数：F(x,y,z)=(x−y)+λ(x+2y+3z−)6⎧Fx′=1+2λx=0⎪⎪Fy′=−1+4λy=0⎨F′=6λz=0⎪z⎪x2+2y2+3z2=6
7、⎩解得驻点为：A(−0,1,2),B,2(−)0,1∂f∂f又r
8、=(2x−y
9、)=−32，r
10、=(2x−y
11、)=32AABB∂l∂l比较知，满足题目要求的点的坐标为：B,2(−)0,1，方向导数的最大值为3.242tt十一、解法1记f(t)=∫∫arctan(1+y)dxdy=∫dy∫arctan(1+y)dx0yD2t=∫(t−y)arctan(1+y)dy022tt=t∫arctan(1+y)dy−∫y
