【优选整合】高中数学人教A版选修2-3131二项式定理学案

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1、1.3二项式定理……学案一、学习目标1.能从特殊到一般理解二项式定理；2.熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项(如常数项，有理项)；3.能正确区分项，项的系数，项的二项式系数等概念；二、自主学习1.二项式定理是什么？2.通项公式又是什么？3.二项式定理有何结构特征，二项展开式中某项的二项式系数与某项的系数有区别吗?二项式定理二项式定理(a+b)"=C0+C%”Tb+…+C%曲於+…+C妙二项展开式公式右边的式子二项式系数C做=0丄2,…，h)二项展开T十戋严於式的通项［点睛］应用通项公式要注意四点(1)口+

2、是展开式屮的第£+1项，而不是第£

3、项；(2)公式中d,b的指数和为弘且a,b不能随便颠倒位置;(3)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题；⑷对二项式(a~b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题.自主小测1.判断下列命题是否正确.(正确的打错误的打“心)(1)(°+〃)"展开式中共有川项.()⑵二项式(a+b)n与(b+d)"展开式中第厂+1项相同.()(3)CW一俗是(a+b)“展开式中的第R项.()答案：(l)x(2)x(3)x2.(兀一少的展开式中含』项的二项式系数为()A.-10B.C.-5D.答案：D3.(/—令)展开式中的常数项为()A.80B.C.40D.

4、答案：C1054.(l+2x)5的展开式的第3项的系数为答案：4010-80-40，第三项的二项式系数为三、合作交流，揭示规律问题1：二项式定理的应用［典例1］⑴求卜心+±)的展开式；(2)化简：(x-l)5+5(x-l)4+10(x-l)3+10(x-1)2+5(x-1).[解]⑴法一:=C*3&r+C】(3&)»(2)原式=C?(x-1)5+Cl(x-1)4+C5(x-1)3+C5(x-1)2+Cs(x-1)+Cs(x-1)°-1=[(x-l)+l]5-l=x5-l.血纟内免奮三预我堤Jid勺裤诞余碱(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直

5、接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幕，后一个字母是升幕.形如(a~b)n的展开式屮会出现正负I'可隔的情况.对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开.(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幕指数的规律以及各项的系数.1]1.化简(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1的结果为()A./B.(x-1)4C.(x+1)4D・/-I解析：选A(x+1)4~4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1=CS(x+1)4+C4(x+1)3(-1)1+

6、Ca(x+1)2(-1)2+C給+1)(—1F+C：a+l)°(-l)4=［(x+l)-l］4=x4,故选A.1.设n为自然数，化简C$2"—+...+(—1)叱卜2曲+..・+(—1)”C：=.解：原式=C$2"•(—1)°+C；2"T•(—1『+・・・+(—1)'C洌"+・・.+(—1)"C：2°=(2-1)"=1・答案：1问题2：二项式系数与项的系数问题［典例2］(1)求二项式(2&—的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求(兀一牛)的展开式中X的系数.［解］⑴由己知得二项展开式的通项为7＞］=Q(2心)6"(—才=2°一G・

7、(T)J3—乎，Q・・・几=一12•兀一于・•・第6项的二项式系数为4=6,第6项的系数为Ci(-l)5-2=-12.(2)设展开式中的第r+1项为含F的项，则7；+i=Cd叫一少=(—lg•严，令9—2厂=3,得厂=3,即展开式川第四项含其系数为(一1)»CA—84.［一题多变］1.［变设问］本例问题(1)条件不变，问题改为“求第四项的二项式系数和第四项的系数”.解：由通项G+i=(-i)y・2「s3-初知第四项的二项式系数为4=20,第四项的系数为Ci(-l)3-23=-160.2.［变设问］本例问题(2)条件不变，问题改为“求展开式中严的

8、系数,,，该如何求解.解：设展开式中第广+1项为含』的项，则7}+尸(—1)9$・广",令9-2r=5,得r=2.即展开式中的第3项含£且系数为C

9、=36.归纳总结：求某项的二项式系数或展开式屮含/的项的系数，主要是利用通项公式求出相应的项，特别要注意某项二项式系数与系数两者的区别.问题3：与展开式中的特定项有关的问题题点一：求展开式屮的特定项1.设i为虚数单位，则(x+i)6的展开式屮含J的项为()A.-15/B.15x4C.-201?D.20Lr4解析：选A二项式的通项为77+i=Qa"T,由6—广=4得厂=2.故7^=Cir4i2=-15

10、x4.故选A.1.（1+2&尸（1一迄）'的展开式中x的系数是.解析：（1+2心）3（1—心）5的展开式的通项为2rC5（-l）'CU—^―（其中厂=