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《【优选整合】高中数学人教a版选修2-3132“杨辉三角”与二项式系数的性质学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1・3・2“杨辉三角”与二项式系数的性质一、学习目标掌握二项式系数的三个性质；培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。二、自主学习阅读理解课本32-35页，填32页探究的表格1・二项式系数表（杨辉三角）@+方）〃展开式的二项式系数，当几依次取1,2,3…吋.，.二项式系数表，表中每行两端都是,除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的2.二项式系数的性质：f(r)（a+b）n展开式的二项式系数是C》，C；,,C；,…，C；；.C：可以看成以厂为自变量的函数/（厂）定义域是{0,1,2,.例当n=6时
2、，其图象是7个孤立的点（如图）201816（1）对称性.与首末两端“等距离叩勺两个二•项式系数相等（J）.14直线r=-是图象的对称轴.2（2）增减性与最大值.・・・C：=比（比_1）（斤_2）・・・（斤_£+1）=ca_in-k+1kk・・・C；相对于*的增减情况由口±1决定，n~k+l>1okvHl,kk2当Rv出时，二项式系数逐渐—.由对称性知它的后半部分是逐渐—，且在中间取得最大值；2当〃是偶数时，中间一项—取得最大值；当斤是奇数时，中间两项,収得最大值.（3）各二项式系数和：*•*(1+
3、X)n=1+C]X4C；*dXn,令X=1,则2n=试一试：1.判断下列命题是否正确.（正确的打‘7",错误的打“心）（1）杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列.（）（2）二项式展开式的二项式系数和为C；?+C：+...+C；；.（）（3）二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同.（）答案：（1）7（2）x（3）x1.己知（处+1）"的展开式中，二项式系数和为32,则斤等于（）C.7答案：AD.83.(1+x)2n(neN*)的展开式中,系数最大的项是()A.第号+1项B.第n项C.第斤+
4、1项答案：CD.第〃项与第n+1项4.在(a+bf的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等，则n=()A.6B.7C.8答案：AD.9三、合作交流，揭示规律问题1：与杨辉三角有关的问题[典例1](1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除,则具有类似性质的行是()1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051A.第6行B.第7行C.第8行D.第9行(2)如图，在杨辉三角屮，斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,
5、10,…，记这个数列的前斤项和为SG),则S(16)等于()1A.144B.146C.164D.461［解析］⑴由题意，第6行为1615201561,第7行为172135352171,故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除.⑵由题干图知，数列屮的首项是C?,第2项是C；,第3项是C】，第4项是C
6、,...»第15项是C$,第16项是C
7、.所以SU6)=C]+C孑+C]+C?+...+d+&=(C]+C]+...+C：)+(&+&+...+&)=(&+C]+C[+・・.+C$—&)+(G+&+..・
8、+&)=Cfo+C；()—1=164.[答案](1)B(2)C厉莎直番;「諒注亏杨履三扁肴亲白勺倆颤白勺二鞭崽昭(1)观察：对题目进行多角度观察，找出每一行的数与数z间，行与行z间的数的规律.(2)表达：将发现的规律用数学式子表达.(3)结论：由数学表达式得出结论.[活学活用1]如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第行中从左到右第14与第15个数的比为2:3.第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051解析：由杨辉三角知，第一行中的数是c¥，C；；第2行中的
9、数是理，cl，&；第3行中的数是心，C],C?C；,…，第宛行中的数是C：Ci，C；；.设第川行中从左到右第14与第15个数的比为2：3,则C,'3:C；,4=2:3,解之得n=34.答案：34问题2求展开式的系数和[典例2]设(1—2x)2°"=d()+di兀+°2兀2+...+。2()16之2°"(兀丘1<).⑴求€/()+«1+^2+•••+^2016的值.(2)求⑷+创+血+…+。2015的值.(3)求匕0
10、+匕1
11、+
12、。2
13、+...+匕2016
14、的值.[解](1)令兀=1，得Go+G]+◎
15、+…+。2016=(—1)**0,6=1.①(2)令X=—1,得«o—«1+6/2—♦••+^2016=32016.②]_^2016①—②得2(di+如+…+。2015)=1—32016»「•a]+03+^5+…+。2015=2•(3)TTr+1=C$()16(—2兀)'=(—l)“C$o】6・(2x)「，・・・如灼<0伙丘2),a2k>0伙eN*).・•.匕0
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