《微积分教学资料陈军杰》jjchen编写的微积分中有关极限与区间上连续的函数和导数定

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1、jjchen编写的微积分屮有关极限与区间上连续的函数和导数定义等内容的课外作业参考解答1・求下列极限:“T8(1)limsin^7UyJn（a）证明

2、ll

3、线）=/-6/+9兀一10在;i=-4与x=4之间（1）至少与兀轴有一个交点，（2）至少与兀轴有二个交点，提示：分别在卜4,0］及［0,4］上应用零值点定理就可证明（2）+1j=lim(-l)"sin(;r(pX=0(2)lim2l丿=2“I'?=0界―>8⑶lim大T+oo(4)lim.YT8X—兀—2010)limXT8LX-2010Ja-20104019

4、4019Xx-2010二严I一2『xtO1A_(5)lim(tanx)lan't-tanxlirn(/)i-r=lim(l4-r-l)/-n+^=e~](•?zrxr[sirrx(6)hm1+(b)试猜想曲线^/-6?+9x-10与x轴的实际交点个数。猜想曲线尸『-6$+9兀-10与x轴的实际交点个数是二个。3.(本题为选做题)证明：若心)在(-8,+8)内连续，且lim/(x)存在，则夬兀)必在(-oo,+00)•¥—>8内有界证明令lim/(x)=4,则对于给定的。0,存在X>0,只要*

5、>X,就有XT8/[x)-A<£,即A-£

6、在闭区间[-X,X]上连续，根据有界性定理，存在M>0,使

7、Ax)

8、

9、A-日，

10、人+£},则f(x)

11、占色+山匕型心->°Ar=1屛心+W+/心+心)+"心+加+c)=恤帧2卄心)+切=2祇+b.MtO2xV山7)门0)“，/铃八一知4•(哙+“0.3.求曲线y=cosx_上点(号,*)处的切线方程和法线方程式解）/=-sinx,法线方程为cix2=x2血=丄X故在点《冷)处,切线方程为y-a为何值时y=a^与)=lnx相切?解要使曲线y=cuC与)=lnx和切，必须a¥2=lnx且(aFy=(lnx)即<解之得*运，因此当2士时，曲线尸血2与尸阮丫相切.y=xA2/(2e)y=ln(x)15-讨论皿Xx<00

12、与可导性x>2解：因为.A(M))=AO+O)^O)=1,所以函数在2()处是连续的；因为*(())=<),人'(())=2,所以函数在r=0处是不可导的.因为XI-0)^(1+0)^/(1)=3,所以函数在41处是连续的；因为口1)=2,以1)=2,所以函数在41处是可导的.因为人2-0)=6,人2+0)=2,所以函数在心2处是不连续的，因而也是不可导的.6.设函数为了使函数7U)在41处连续且可导应取什么值？解因为郎丿⑴匚呱宀1,恋』⑴二呱(似+b)F+b,夬1曲+也所以要使函数在41处连续，必须0+归1•又因为当。+/?=1时r(l)=lim1=2,昇⑴=lim型

13、竽=lim心T)+严-1=lim叫2AT1-0X—1+XT1+0X—1x->l+0X—1XT1+0X—1所以要使函数在x=l处可导，必须a=2,此时b=-l.7.求函数的导数:]一疋⑴)Py"+i）（4i）；⑶)=(兀+1)(x+2)(兀+3);解y'=(x+1)'(x+2)(兀+3)+(尤+1)(x+2),(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)'=(x+2)(x+3)+(x+1)(兀+3)+(兀+1)(x+2)=3x2+12x+l1.(4))=xsinxlnx;解y,=sinxlnx+xcosxx+sinx.(5).y=log“(l+P);解r詁赢QW乔粘(1

14、1))=shx^echA;(12)y^=arch(x2+1);