《微积分教学资料陈军杰》jjchen编写的微积分中有关函数极限与连续性的课外作业参考解答

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1、jjchen编写的微积分有关函数极限与连续性课外作业的参考解答x<0°VXS1,分别讨论XTO及XTl时，心)的极限是否存在.10因为lim/(x)=lim(x2+1)=2,lim/(x)=lim—=2,lim/(x)=limf(x),XT广.YT1+XTl"XX->1~XT1*所以lim/(x),且lim/W=2.2.下列函数，当XToo时均具有极限，将这些函数表示为一个常数(极限值)

2、与一个(XToo时的)无穷小之和的形式：X2解因为！如毘ri，所以尸世r*因为limJVT8兀2=]2x2+l_2所以)=x2_1fx21_1I-12x2+1=2+2x2+1~2=2+2(2x2+1)因为limx->«>1-x21+x21,所以由i1-x21+x221+x23函数尸XCOS兀在(yo,+oo)内是否有界？这个函数是否为当XT+oo时的无穷大？为什么？解函数y=xcosx在(yo,+8)内无界.这是因为X/M>0,在(-oo,+oo)内总能找到这样的兀，使得

3、)G)I>M.例如y(2k7f)=2k7rcos2k7T=2k7r(k=0,1,2,•••)

4、,当k充分大时，就有

5、y(2k7t)>M.当xT+oo时，函数)=XCOSX不是无穷大.这是因为VM>0,找不到这样一个时刻N,使对一切大于N的x,都有yM>M.例如y(2S+号)=(2睑+号)cos(2M+马)=0(肛0,1,2,…),对任何大的7V,当R充分大时，总有x=2k兀+亍N,但IXx)

6、=O

7、+i-jF-x+l),解lim(厶2+x+i一厶2-x+i)=Hm//"T*人卄V%2+X+1+V%2-X+1=limXT+8丄+丄+』-丄+丄XXzX6lim:+1(3+cosx)XT*才+兀解lim斗虫（3+cosQ=0,这是因为当xtoo时，孚丄是无穷小量,3+cosx是有界变量.7若1讪（竺-似一/?）=0,求°、b的值.XToo兀+1解因为Hm(旦-俶-方)Him(—)/%+加+(1-叽0,XT。©兀+]X—・vx+1所以(1-a)x-(a+b)x+(1-b)^一次多项式，从而a=,b=-.8limx~sinx人T°x+sin无解lim上沁•iTO

8、jv+smx]sinx=lim—=-=0.5]

9、sinx2x9lim(—)x,丫十x+1解lim(^4)r20兀+1(1-丄)”戶=limf—=^=严宀(1+丄)x亡x11—F—F■■n2+兀n2+2龙证明因为济s.+...+丄）亠几2+龙舁2+2龙Q+斤兀Q+兀所以lim亠二nz+n7T亠)=1n-+n7T11若lim斗旦=5,求°、b的值.XT11-X解因为lim斗旦=5,所以当XT1时，1-兀与,+Q+b是同阶的无穷小，因此XTl1-Xlim(F+处+b)=l+a+b=O,b=--a.•TTl于是lim童如吃胡0/+做一1-0=曲£止如^=恤(-_1“)=

10、-2-“5,Il-XII-XXT1-XXT1cz=—7,b=—1—a=6.12已知陥=13-兰,试就州取如下二种情形，问｛兀｝收敛否？收敛于多少？（1）x（=6；（2）X］=q（q为常数,4

11、/（9）,即有4vg<9,于是由数学归纳法可知40（｛暫｝的单调递增性也可由数学归纳法来证）由（1°）（2°）可知*｝的极限存在（设极限值为A）,则对原递推式两边取极限，可得A=13-—,BPA=4或9,但由于兀［二a>4,所以A=9,即此时A｛£｝收敛且收敛到9。猜测当兀］=c（c丰4）时数列｛“｝不可能收敛于4。13确定函数的间断点，并说明这些I'可断点属于哪一类，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续.⑴^~（，（兀+2尸解因为y=—^-7在点4-2处无定

12、义，所以心