《微积分教学资料陈军杰》一元微积分微分学训练题参考答案（提供者jjchen）

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1、一元微积分微分学训练题参考答案(由数学系JJCHEN提供)1•广⑴=lim+=恤2/⑴一2/(0)=2厂(0)=4.7T1t『T1f2./(x)=-(4x3-18x2+27)(0

2、)(兀=寸)，广(%)=<(4x3-18x24-27)(

3、

4、<%<2)不存在结论如下:/G)在0,-上单调减少，在丄,2上单调增加，最大值是f(0)=27,最小值是广(丄)=04^4^2」…3.由隐函数求导法易得;/=-1/2*(-F+2*Q*y)/(_y2+q*兀)由于y(2d)=2a,

5、贝ly2a)=0,故无=2d为其驻点，由于y(2a)=2a,y2a)=0故歹=(yy=1仪兀一2a)r)(ar—F)—(兀2—2©)(。一2yy')*2(ax-y2)2(=l/2*y*x*(2*y3—6*tz*x*y+x3+4*a3)/(—y64-3*y4*a*x-3*y2*^2*x2+a3*x3=1/2*y*兀*(2*y5_6*a*兀*y++4*/)/(_b+a*兀尸)1(2*2a-2a*0)(a*2a-(2a)2)-((2a)2-2a*(2a))(a-2*2a*0)1~2(a*2a-(2d)2)2-a于是当a<0时兀=2a是

6、极小值点，当a>0时兀=2a是极大值点。丄/(兀)];尹理由如下:rh已知条件可知lim/(x)=f(O),lim广(x)=ff(0)xtOxtO再结合条件lim上凹=0可知1/(0)=0,广(0)=lim，⑴一/(°)=lim』^=0,x—>0jqx—>0兀xtO兀连续利用洛必达法则可得lim/甲二lim'也=lim/凹=/也=-=2心0厂XTO2xtto222.ZU)X4.1im1+xtO于是冇lim1+凹VXT()£lim

7、g/(x)=x2-xsinx-cosx,则有f(一一)>0,/(0)<

8、0^/(-)>0,故有零值点定理知/至少有二个实零点；但如果/有三个以上的零点，则有罗尔定理的推论可知广至少有二个零点,W(x)=x(2-cosx),它仅有一个实零点，所以/'恰好有二个实零点，原命题成立。y=xA2-x*sin()(卜cos(x)6.方法一.Let/(x)=exp(x)*(2・x)・(2+x),贝if(兀)=(e)v(2-x)-(e)x-1,厂⑴二(e)A(-x)<0(x>0)利用带拉格朗日余项的麦克劳林公式知，至少存在一点兵(0,x),=f(0)+f)x+x2=x2<0(%>0),于是命题获证。方法二。利用辅助

9、函数g(x)二八空二9(兀>0)的单调性即可.2+x7.利用/⑴“0)+广伽+守打如伽(i+劝*争心2),代入条件，即W(0)=o,广(0)=-1,厂(0)=7.注：本题也可利用洛比达法则来做。8.出题设矩/(x)在S,c],[c,b]上满足拉格朗口的定理条件，故在[a,c],[c,b]上分别有止皿〉0(”木二卑<0(*沐历,c-ac-a「c-bc-b曲于/(兀)在(d,b)内具有二阶导数，故厂(兀)在隊金]上满足拉格朗仃定理的条件，于是在(鼻即上至少存在一点$使厂©二/电y)vo(兵(g)u@e)),72_€1即命题成立。注：木题也

10、可利用反证法和凸函数的性质來做。