《微积分教学资料陈军杰》（微积分预备内容之三）有关微积分介绍实数系映射

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1、有关微积分一、定义一一变量数学的基础部分，是微分学与积分学的统称（建立于17世纪后半叶）二、产生背景思想萌芽于公元前十七世纪，如《庄了》中有一尺Z極,口取其半，万世不棍，认为物质是连续的，无限可分的•十七世纪欧洲开始工业革命，随着资本主义发展需要解决的力学和天文学等自然科学问题很多，而力学与天文学较多地依赖于数学，所有这些问题归纳为四种问题：1.速度与位移的互求（这类问题与研究行星运动、航海及机械运动密切相关）2.求曲线的切线（这类问题与机械运动，天文学与航海学有关）3.求最大、最小值问题4.求长度、面积、体积、重心前三类问题导致微分（导数）的概念，第四类问题导致积分的概

2、念。牛顿（英国，从物理角度）三、建立VI莱布尼茨（德国，从几何角度）四、地位：人类文明的重大成果五、为什么要（首先）学习微积分数学体系是由逻辑构筑的，昔口重要的数学知识，是今日数学的“逻辑基础”，舍弃了前者会影响后面的学习，例如，微积分已有二百余年的历史，但今天它仍是现代数学的一块基石，另外，微积分在今天仍有较广泛的实际应用。六、怎样学习微积分逻辑思维（抽象、归纳、类比、猜想、演绎）1.数学思维VI非逻辑思维（想象、直觉、灵感）2.数学三大特点：高度的抽象性，严密的逻辑性，应用的广泛性和灵活性。七、怎样战胜微积分独立的批判性思考，多类比、归纳、善于发现不同知识点之间的联系

3、，及时总结，先从薄到厚，再从厚到薄！1.花足够多的启动时间2.（深度）预习，作业、及吋复习3.多类比，归纳、猜测4.独立思考、不耻下问及讨论5.阶段性总结（注意前后知识的联系）1.抓住微分与积分这一对主要矛盾，同时注意其它矛盾学好微积分二教科书+教师+指导书+学习策略+自主管理写上班级和学号八、作业J用最薄练习本（20页以内）题冃之间空一行及时订正实数系高等数学是在实数系（又称实数集）屮研究问题的，因此,有必要对实数系作进一步的介绍.为叙述方便，以后常用逻辑运算符号“m”表示“存在”、“有”或“找到”，称为存在量词.表示“对任意的”或“对所有的”，称为全称量词.一、实数系

4、的完备性众所周知，推动数系扩展的原因之一是数系的逆运算.口然数集N对加法和乘法运算是封闭的，即两自然数相加或相乘后仍为自然数，而对减法运算是不封闭的，如5+尸2在自然数系中是无解；为此将自然数系扩充为整数系乙而整数系对除法运算是不封闭的，如5"2在整数系小是无解；由此又扩展为有理数系Q,而有理数系对开方运算又是不封闭的，如戏=2在有理数系中是无解，因此产生了无理数，有理数和无理数统称为实数.在数轴上，自然数系和整数系中的相邻两数都可用间距为单位长的点表示，它们是一系列的离散点，这种特性称为自然数系和整数系的离散性；一个有理数也可用数轴上的一个点表示，这种点称为有理点，任意

5、两个不同的有理点人与厂2之间必有另一个有理点如厂产号2・可见，任意两个有理点之间必有无穷多个有理点，这个特性称为有理数系的稠密性;但有理点并未充满整个数轴，还存在空隙，比如，还有与原点距离为血兀£的这样一些无理点存在•只有有理点和无理点的全体，也即只有实数系的全体实数才能连续地充满整个数轴，这个特性称为实数系的完备性•高等数学中的许多基本概念和理论与实数系的完备性是密切相关的，如确界概念等.映射1.映射的概念设X和Y是两个非空集合，如果存在一个法则7；使得X中的每个元素x按法则卩在Y中有唯一的元素y与之对应,那末称T为X至I]Y的映射，记作T:XtY,元素y称为元素x（在

6、映射T下）的象，并记作T（x）,即y=T（x）,而元素兀称为元素y（在映射T下）的一个原象.集合X称映射T的定义域，T的定义域常记作d（t）oX中所有元素的象所组成的集合称为映射T的值域，T的值域常记作R(T).T的值域有时也称为集合X(在映射卩下)的象并记作r(x),g

7、J/?(T)=T(X)={T(x)

8、%gX}.根据集合X、Y的不同情况，在没的数学分支中，术语“映射”有着不同的惯用名称，例如“函数”、“泛函”、“变换”、“算子”等等•如果X是非空集合"是一个数集(实数集或复数集)，那么从X到Y的映射通常称为定义在X上的函数•我们在中学数学中所接触的函数实际是实数集(

9、或其子集)到实数集的映射.例如，映射f.R—R,>,=/W=sinx,即为我们所熟悉的正弦函数.注意，在说明…个具体的映射时，不仅要指出它是从哪个集合到哪个集合的映射，还要指出其具体的对应规则;但使用什么字母來表示所讨论的映射、集合和元素，是可以根据需要(当然也要注意习惯用法)自由选取的.我们指出,在讨论函数时，为方便起见，常用yhU)或fix)来表示函数云比如正弦函数可表示为y=sinx,xeR.2.几类重要映射设卩是从集合X到集合Y的映射，若T(X)=Y,即Y中任一元素均是X中某元素的象，则称卩为X到Y的满射;若对任意的%