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《微积分10 多元函数的概念、极限与连续》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第一节多元函数的概念、极限与连续一、多元函数的概念二、二元函数的极限与连续例1圆柱体的体积和它的底半径,高之间的关系为,其中、、是三个变量,当变量、在一定范围（，）内取定一对数值时,根据给定的关系，就有一个确定的值与之对应.例2电路中电流强度,电压和电阻之间满足关系式,其中是三个变量,当变量在一定范围()内取定一对数值时，根据给定的关系,就有一个确定的值与之对应．1.引例一、多元函数的概念2.二元函数的定义定义1设是三个变量.如果当变量在一定范围内任意取定一对数值时,变量按照一定的法则总有确定的数值与它们对应,
2、则称变量是变量的二元函数,记为其中称为自变量,称为因变量.自变量的取值范围称为函数的定义域．二元函数在点所取得的函数值记为，或例３设求解表示数轴上点,则一元函数可以表示为;数组表示空间一点称为点若所以三元函数可表示为的坐标．以点为点．表示自变量的函数称为点函数．这样不论是一元函数还是多元函数都可统一地表示的函数3.二元函数的定义域二元函数的定义域较复杂，它可以是一个点，也可能是一条曲线或几条曲线所围成的部分平面，甚至可能是整个平面．整个平面或由曲线围成的部分平面称为区域；围成区域的曲线称为该区域的边界;不包括边
3、界的区域称为开区域，连同边界在内的区域称为闭区域．以点为中心，为半径的圆内所有点的集合称为点的邻域，记作．如果一个区域可以被包含在原点的某个邻域内，则称该区域为有界区域，否则称为无界区域．开区域如:闭区域如:例4求下列函数的定义域，并画出的图形．(1)解要使函数有意义，应有即定义域为有界开区域（2）解：要使函数有意义，应有即定义域为无界闭区域设是二元函数的定义域内的任一点,则相应的函数值为,有序数组确定了空间一点,称点集为二元函数的图形.二元函数的图形通常是一张曲面.4.二元函数的几何意义当1．二元函数的极限邻
4、域内有定义（点定义2设二元函数在点可以除外）,如果当点沿任意路径趋于点时,函数趋于常数,那么称为函数的某一总无限AA时的极限，记为或二、二元函数的极限与连续说明：（1）定义中的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数.（2）二元函数的极限运算法则与一元函数类似如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等。xyoP0例5求极限解:其中例6证明不存在．证：其值随k的不同而变化，故极限不存在．
5、确定极限不存在的方法：（1）令点沿趋向于极限值与有关，则在点处极限不存在;，若（2）找出两种不同趋近方式，使存在，但两者不相等，则此时在点处极限不存在．2．二元函数的连续性定义3设函数在点的某一邻域内,则称函数在点如果函数在区域内每一点都连续,则在区域如果函数在点不连续，则称点是函数的间断点.有定义.如果内连续.处连续.称函数例7求．解因为函数是初等函数,且点在该函数的定义域内,故例8讨论函数的连续性．时，为初等函数,故函数在点处连续.当不存在,所以函数在点处不连续，即原点是函数的间解当断点．时,由例5知3．有
6、界闭区域上连续函数的性质性质1（最值定理）在有界闭区域上连续的二元函数，在该区域上一定有最大值和最小值．性质2（介值定理）在有界闭区域上连续的二元函数，必能取得介于函数的最大值与最小值之间的任何值．第二节偏导数一、偏导数二、高阶偏导数1.偏导数的定义．在点定义设函数的某邻域内有定义,,而在取得增量时,函数相应取得如果极限存在,在点处对或增量(称为偏增量):固定的偏导数,记为则称此极限值为函数一、偏导数类似地,函数在点处对记为或偏导数定义为:的2.偏导数的求法例1:求z=x2+3xy+y2在点(1,2)处的偏导数
7、.解把y看成常数,得把x看成常数,得例2求函数的偏导数．解:例3设,证明:证因为所以例4:已知理想气体的状态方程PV=RT(R为常数.)证:因为求证:所以=1偏导数的记号是一个整体,不能看成微商,否则导致运算错误．例5:求在点(0,0)处的偏导数.解:=0注意:二元函数在某点存在偏导数,并不能保证函数在该点连续,与一元函数可导必连续是不相同的．3.偏导数的几何意义是曲面与平面的交线在点处的切线轴的斜率.对是曲面与平面的交线在点处的切线轴的斜率.对二、高阶偏导数函数它们都是的函数,如果这两个函的偏导数也存在,则
8、称它们的偏导数的二阶偏导数．数关于是的二个偏导数四个二阶偏导数二阶混合偏导数类似地,可定义三阶、四阶以至阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，而和称为函数的一阶偏导数．例6:设z=x3y23xy3xy+1,解:及求定理１如果函数的两个二阶混合偏导在区域内连续,则对任何有数即二阶混合偏导数连续的条件下,混合偏导数与求导的次序无关,对更高阶的偏导数也有类似的结论．例7设函数，
