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1、7-2多元函数的概念、极限和连续1复习1.平面区域邻域、内点、外点、边界点、开集、开区域、闭区域、有界区域、无界区域等2.多元函数概念二元函数(图形一般为空间曲面)3.将区域表示为不等式(1)X—型区域(2)Y－型区域2第七章第二节多元函数的基本概念三、二元函数的极限四、二元函数的连续性一、平面区域二、多元函数的概念3回忆一元函数:描述性定义：当时，函数无限接近于一个确定的常数A，则常数A叫函数的极限.如何定义二元函数时的极限？三、二元函数的极限在时的极限定义：4三、二元函数的极限对于二元函数是定义域D内的点当时，对应的函数值无限接近于一个确定的常数
2、A，则称A为时，函数的极限记为：表示点P以任何方式趋于点也就是的距离也就是1.二元函数极限的定义注意：52.二元函数的极限与一元函数的极限的区别与联系（1）共同点●定义方式相同.所以函数极限的性质仍成立，如惟一性、保号性、局部有界性、夹逼准则、法则等.四则运算●在点是否有定义并不影响极限是否存在当(x,y)→(0,0)时,求函数的极限。例1解6（2）不同点二元函数极限的方式（路径）不同一元函数的方式有两种，故有的方式是任意的，有无数个.一元函数的极限沿任何路径时极限存在且相等7反之,函数趋于不同的值，则可判定函数的极限不存在.确定极限不存在的方法：(
3、1)令P(x,y)沿y=kx趋向于若极限值与k有关，则可断言极限不存在；(2)找两种不同趋近方式，使存在，但两者不相等，此时也可断言f(x,y)二元函数极限极限存在.也不能断定函数的或有的极限不存在，处极限不存在.在点8解:设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则有k值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.例2.讨论函数9例3考察函数在原点的二重极限.线趋于时10(1)为了区分一元函数的极限,称二元函数的极限叫二重极限.说明：称为累次极限,又叫二次极限.(3)累次极限的求法:先求内层,再求外层.二重极限的求法无先后次序
4、,（4）二重极限不同.与累次极限仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.如果它们都存在,则三者相等.同时求.而且11例如,显然但由例3知它在(0,0)点二重极限不存在.（3）联系由于一元函数与二元函数极限的定义方式相同.所以一元函数极限的性质如惟一性、保号性、局部有界性及极限的四则运算法则，夹逼准则；无穷小的概念与性质，两个重要极限及求极限的变量代换法，等价无穷小代换法等都可直接推广到多元函数极限上来.但一元函数极限的充要条件及洛比达法则不能用于多元函数极限12解例4求极限例5求解时13例6求极限解其中14四、二元函数的连续性回忆一元函数:在处连续的定
5、义：(1)函数在点处有定义如果存在；则函数在点连续.如何定义二元函数处的连续性？15四、二元函数的连续性1.定义设函数z=f(x，y)的定义域为D，点若则称函数z=f(x,y)在处连续.二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续,必须满足三个条件:①函数在点P0有定义;②函数在P0处的极限存在;③函数在P0处的极限与P0处的函数值相等.16如果f(x,y)在平面区域D内每一点处都连续,则称f(x,y)在区域D内连续,也称f(x,y)是D内的连续函数.在区域D上连续函数的图形是一张既没有“洞”也没有“裂缝”的曲面.17例7讨论函数在原点处的连
6、续性.解又所以由定义知:所给函数在原点处连续.由例618例8.证明在(0,0)处连续.证:因为故函数在(0,0)处连续.由夹逼准则得19例如,函数在点(0,0)极限不存在,又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周说明:二元函数的间断点不一定是孤立的,可以连成一条线.2.间断点：203、有界闭区域上二元连续函数的性质性质2(最值定理)若f(x,y)在有界闭区域D上连续,则f(x,y)在D上必取得最大值与最小值.性质1(有界性定理)若f(x,y)在有界闭区域D上连续,则f(x,y)在D上有界.性质3(介值定理)若f(x,y)在有界闭区域D上连续,
7、M和m分别是f(x,y)在D上的最大值与最小值,则对于介于M与m之间的任意一个数C,必存在一点(x0,y0)∈D,使得f(x0,y0)=C.214.多元初等函数：定理定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．如：式子所表示的多元函数，有限次的四则运算和复合步骤所构成的由常数及两个以上变量的基本初叫多元初等函数.等函数经过可用一个5.多元函数连续性的应用----求极限求时，如果f(P)是初等函数，定义域的内点，则f(P)在点处连续，于是：且是f(P)的22解例9求原式=例10求解函数是二元初等函数，23例11求函
8、数的连续域.解xoy所求定义域为:即为所求的连续域241.二元函数的极限2.二元函数的连续性1)函数2)闭域
