微积分1资料—有关极限和导数定义的思考题

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1、有关极限和导数定义的思考题利用导数定义求函数极限如果f(x)存在o+=y/(x)注意：分子中的“口”和分母中的“口”应一致，且符号也相同1.设/(兀)在忑点可导，求下列极限lim/（並+2力）二型二2h）2h2.设/是一偶函数且在兀=0可导，证明：广(0)=0。证明r(°)=亦/⑴7®=lim心)7(°)'A->0"x-0x・_>0+—X—0=_lim/(x)-/(0)_f(0)o5x-0v7(注：若把条件“在兀=0可导”改为可导，如何证明？)3.设函数/(兀)具有二阶连续导数，且/(0)=0,/,(0)=1,/*(0)=2,试求/W-理解lim2*0x兀02

2、x1?0x?o2x?0(注：若条件改为：函数/(X)具有二阶导数，如何求解？)求含有绝对值的函数和分段函数的导数分析：含有绝对值的函数可转化为分段函数/(X)兀>0y=x-ag(x)xay!-j'(x)当x

3、x-a处可导，则在x=a处连续，即limf(x)=limg(x)=/(a)*XT+dXT-a(2)求儿‘(a)=lim•/⑴一/⑷,y_z⑷=lim巩兀)一/(切,而”⑷=打(a)#xT+aX-ClXT—aX-a(3)由*和#，求待定系数求分段函数的导数,并会讨论导数在分段点处的连续性/(x)x>a函数y(x)=a兀二g,求y(X),并讨论y(兀)的连续性g(x)x<(%)在定义域内的连续性方程中至少有一个实根的证明利用零点定理证明方程f(x)=^(x)在(a,b)内至少有一个实根方法：(1)令F(x)=f(x)-

4、g(x)(2)计算F⑷,F(b)(3)如果F(a)-F(h)<0,则/(x)=g(x)在(a,b)内至少有一个实根4.设/(X)在(—,+oo)内具有二阶连续导数，且/(0)=0,证明:g(X)二X1/70)XH°在(-00,4-00)内可导x=0证明:•/f(x)在(-oo,+oo)内具有二阶连续导数，.••当XH0吋，g(x)=/凶X可导，而讪暨竺=lim/(x)-#<0)=Hm/(x)-/XO)x°xX°x2X?°2xJim止上型」厂(0)巳'(0),22。x2•Ig(X)在(一汽+8)内可导。5.已知/(x)=X求/G)的极值。[x+1x<0解：当

5、兀>0时，fx)=(g2Alnx)z=2x2r(InX+1)令f(x)=0得驻点x=-e当XV0时，fx)=1,无驻点及不可导点当x=0时，只需讨论其是否连续limf(%)=lim(兀+1)=1«TT(rXT()-f・厂/、(・2.v—2xln.rlim2.tlnx0lim/(x)=limy=limp—q—o*=z?X・T(rXT0+儿XTO上ee/./(x)在X=O处取极大值f(0)二1,在x=-取得极小值/(-)二eee而/(O)=1/(x)在x=Q处连续X(-°°,0)0(0,-)eIeA、(_,+°°)e广(兀)+无关—0+/(X)/极人极小列表：

6、21sin—px_16.极限lim=AH0的充要条件是「1+”(1+丄)XX(A)a>\(C)a>0;(D)与a无关.,则limXT8sin—ex-1——厂=lim疔(1+丄)“_(1+丄)-0(1+/)-(1+0XXsint1e-1sint一忸(1+f)[(l+-1]=lim=—!—/TO(Q—1"a-(a主1)故应选(B)o7.i・x-(sinx)lim—；—>0十xln(l+x)小(沁)-1)原式=一lim.sinx.rln(lim兀'=1)xtO*ex—1=-lim大TO十”.sinx.Z1sinx-x)Inln(l+二-lim—二-lim—XT(

7、)+XXTO4*「sinx-x…cosx-l二_limrx3-X8.求函数/(x)=

8、x

9、1兀H°的间断点并指出类型.x=09.2iIn

10、x

11、“-I,lim4"IIn

12、x

13、lim竺工=0x=l为可去间断点.XT1IlimXT-13x2-1~~i-0x=-l为可去间断点•x=0,lim^—^=0goIn

14、xIx=0为可去间断点•iexarctan设f(x)=lim〃T8求/Or）的间断点并判定类型.0,exarctan1+兀x2x>0;x<0.evarctanlimf(x)=limXT(rXT()-XL兀(・e—lim-4xt(tx1「Tir=-lim—=

15、04『TPQf则x=0为可去间断点11