概念-有关极限和导数定义的思考题

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1、冇关极限和导数定义的思考题利用导数定义求函数极限如果/z(x)存在olim'S+E—'S)=f((x)口TO口注意:分子中的“口”和分母中的“口”应一致，且符号也相同2/?1.设/⑴在兀。点可导，求下列极限1曲/(心+2力)-心-2/0h->02.设/是一偶函数且在兀=0可导，证明：广(0)=0。证明广(0)=lim/⑴一门°)=lim心)7(°)xtOX—0xt(T—X—0=_』)")(0)。5x-07(注：若把条件“在兀=0可导”改为口J导，如何证明？)3.设函数/(对具冇二阶连续导数，且/*(0)=0,广(0)=1,厂(0)=2，试求_>0兀

2、2(注：若条件改为：函数于(对具冇二阶导数，如何求解？)求含有绝对值的函数和分段函数的导数分析：含有绝对值的函数可转化为分段函数/⑴x>ay=Ax=ag(x)xa)r=f(%)当y=g(x)(2)当x二a『+(q)=lim于⑴"yf-(a)=lim&(力_人xt+“x-axT-ax-a(3)如y'+(a)=yf-(a)=B则『⑷存在，且y'(a)二B.否则yf(a)不存在(4)写出『的解析式分段函数在分段点处的导数存在，求待定系数己知y(x)=卩缪aiix=a处可导,求y(x)中的待定系数[g(x)x

3、在x=a处可导，则在兀=a处连续，即limf(x)=limg(x)=f(a)*xT+axT-a(2)求yj(a)=lim/⑴一/⑺,y_/(a)=lim&(兀)一/(。)，而儿论)二儿/@)xt+"x-a—“x-a(3)由*和#，求待定系数求分段函数的导数,并会讨论导数在分段点处的连续性函数y(x)=ax=af求y'(兀)，并讨论『⑴的连续性x

4、x)-g(x)(2)计算F⑷,F(b)(3)如果F(d)・F(b)vO,则/(x)=g(x)在(d,b)内至少有一个实根4.设/(兀)在(-00,+00)内具有二阶连续导数，且/(0)=0,证明:g(x)=5X广(0)XH°在(-00,4-00)内可导x=0证明:v/(x)在(-00,+00)内具有二阶连续导数，・•・当兀工0时,g(x)=-X可导，而『(兀).fgo)..1HB亠一竺=I"")x0*x0兀/x025x22xg(x)在(-oo,+oo)内可导。5.己知心)=["">0,求y•⑴的极值。x+1x<0解：当x〉0时，/,(x)=(e2x,

5、nv),=2x2A(lnx+l)令广⑴=0得驻点x=-e当兀vO时,广(兀)=1,无驻点及不可导点当x=0时，只需讨论其是否连续limf(x)=lim(x+1)=1xtO-而/(0)=1列表：/./(%)在x=0处连续f・、(・2.v(・2.vlnxlim2xlnx阳/⑴二噪兀二出幺弋"X(-。0)0(0丄)eIe(丄,+00)e广⑴+无关—0+/极人、极小/11_2/(X)在x=0处取极大值/(0)=1,在x=-取得极小值/(-)=eesin—px_[6.极限lim工0的充要条件是i(l+5-(l+丄)XX(A)a>\(C)a>0;(D)与a无关

6、.,贝！JlimXT8sin*ex—I(1+丄)。_(1+丄)XXsin/ie-1吨(l+zf-a+r)sin/=lim/TO~!^(1+r)[(l+r)a_1-1]-o(q_1并a_[(a丰1)故应选(B)o7.i・xx-(sinx)xlim—；—心0卜xln(l+x)小(沁)-1)原式=-lim»x3.sinxxlnex_[=一lim(limxx=1)x->(rxx->o+tsinx(sinx-x)Inln(l+=-lim—=-lim.t->0+Xx->0+sinx-x(・cosx-l=-lim——=-limX’X^O+3x=limxtO-x23

7、x28.求函数f(x)=

8、x

9、1"u的间断点并指出类型.x=0xtiInIxI=lim斗二=0x=l为可去间断点.XT1I"IIn

10、x

11、=limXT-13x2-1~~i-=0x=-l为可去间断点•兀=0为可去间断点.9.设f(x)=lim7l->00iexarctan1+兀x2+严求/（X）的间断点并判定类型./«=0,iexarctan1+x7JTx>0;x<0.丄兀一e=—lim-4%2exarctanlimf(x)=lim亠公xt(tx->o~xz=-lim—=042+8J7111eAarctan—i•1+r兀lim+=—-广x4e丄1e

12、xarctan——limx—>—厂x4e则x=-l为跳跃间断点.10.设/（兀）在x=0处连续，则/（对在x