【精品】有关极限和导数定义的思考题.doc

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1、有关极限和导数定义的思考题利用导数定义求函数极限如果fx）存在弋I）二/（X）=广⑴J、刀口TO口」注意：分了中的“口”和分母屮的“口”应一致，且符号也相同1.设/（X）在心点可导，求下列极限lim，1/2/7）—・/_（弋匚"）2.设/是一偶函数JDL在x=oW导,证明：/z（o）=oo证明广⑼“訂⑴一兀叭恤/—用）x->0"x—0A->0+-x-Q5兀一0V）（注：若把条件“在兀=0可导”改为可导，如何证明？）3.设函数/（兀）具有二阶连续导数，且/（0）=0,/z（0）=l,/70）=2,试求go解:（注：若条件改为：函数/（兀）具有二阶导数，如何求解？）求含有绝对值的函数和分段函

2、数的导数分析：含有绝对值的函数可转化为分段函数/⑴x>aAx-ag（x）XVd分析：（1）当x〉ay=f（x）y=g3(2)当x=ay+(a)=lim厶Q)__xT+ax-aAT—ax-a(3)如y+(a)=yl(d)=B则y(a)存花且y(a)否则ya)不存在(4)写出y/的解析式分段函数在分段点处的导数存在，求待定系数f（x}兀>a己知y（x）=〈一在x=a处可导，求yO）屮的待定系数g⑴x

3、儿a)=y_/(a)#AT+ax-aAT-ax-a(3)由*和#，求待定系数求分段函数的导数,并会讨论导数在分段点处的连续性7Wx>a函数)0=Ax-a，求y'(x),并讨论y'(x)的连续性gfx)x

4、,+oo)内可导x=0证明：・・・/(X)在(-oo,+oo)内具有二阶连续导数，.••当心0吋，巩切二加可导，而2xlim竽Wlim也护L1曲八小八°)-V0Xx0Xx0=ilimr«-r(o)=i25X2•••g(X)在(_oo,+oo)内可导。

5、v2av>03.已知/(X)斗,求/0)的极值。［兀+1x<0解：当兀>0吋，/z(x)=(Z，nAy=2x2A(lnx+l)令f(x)=O得驻点x=-e为无v0时，fx)=1,无驻点及不可导点当兀=0吋，只需讨论其是否连续limf(x)=lim(尢+1)=1XT(厂XT(厂X(—,0)0(0,-)eleA、(—，+°°)e/V)+无关—0

6、+/w/极人极小/2.vlnxlim2xx0TO+0M/(0)=1列表：••JO)在x=0处连续11••・f(x)在X=0处取极大值/(0)=1,在X=-取得极小值/(-)=厂eesin—6极限lim―=山0的充要条件是「1+丄—(1+丄)XX(A)a>\sin—ex-l(D)与a无关.令—=t，贝ulimY=lim1———:XT8(1+_L)J(1+_L)20(1+/)-(l+f)XXsinf=除(1+『)[(1+7严-1]=除(a_l"=~oT(aHl)故应选(B)o7.UnZ、一⑸吋xln(l+x)小(沁)-1)原式=-lim—0+十.sinxxlnex—1=-lim(lim

7、xx=1)xt0+.sinxfZ1sinx-x)Inln(l+-lim—=-limxT(ra—>()"sin^-x-cosx-l—lim—=—lim；——・VT()+厂ITO*8.—X[!^=6x3-x求函数/（x）=的间断点并指出类型.x=03r2_1哟牛=021为可去间断点.Dun—at」In

8、xlimXT-13x2-1~~1-0x=-l为可去间断点.x=0,^-=0goIn

9、xI兀=0为可去间断点.9.丄exarctan设/(x)=lim"—>811+兀，求/（无）的间断点并判定类型.f(x)=<0,丄exarctan1+x兀2x>0;x<0._1兀「e—lim-04a-^o-Le

10、Aarctanlim/(x)=lim亠兰xt(t“to-xUmJ4/T+8则兀=0为可去间断点丄1eAarctani・1+«x兀lim+r=——xt-广jc4e_1eAarctanlimc=x4e则兀=_1为跳跃间断点.io.设几兀）在兀=0处连续，则/⑴在兀=o处可导的充分条件是(A)lim/(v)-/(~v)-存在;xtO2x(B)lim/0-cos^)-/(0)存在;・yt0X2(C)lim存在；(D)HmVF)