巧用导数的定义式求极限

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1、高等数学研究Vol
10,No
5









18STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSSep.,2007*巧用导数的定义式求极限李
萍
成立花
(西安工程大学理学院
西安
710048)摘
要
给出了导数的定义式应用的几个例子,指出了在求一类极限时,如果能巧妙的应用导数的定义式,则可减小计算量关键词
导数的定义式;未定式;极限

中国分类号
O172导数是微分学的基本概念之一,它反映出函数相对于自变量的变化快慢的程度.由于一般函数的导数问题利用导数基本公式及其运算法则等进行计算,要比利用导数定义计算更加方便,所以,导数定义式在解题中的

2、作用常常被人们所忽视.而在教学中,由于时间限制老师也无法对运用导数定义式求极限这一问题讲行深入展开.波里亚在怎样解题一书中指出!回顾定义是一项重要的智力活动,面对一个数学问题,如果我们只知道概念的定义,别无其他,我们就不得不回到定义.∀本文对导数的定义式进行剖析,结合例题对如何利用导数的定义式求极限加以说明,以引起人们对导数定义的进一步理解和重视.一、常用的导数定义式设函数y=f(x)在点x0处可导,则有下列式子成立:f(x)-f(x0)1
f#(x0)=limx∃x0x-x0f(x0+h)-f(x0)2
f#(x0)=limh∃0h其中h是无穷小,可以是

3、x(
x=x-x0)、
x的函数或其它表达式.二、巧用导数的定义式求极限22x+p-p例1
lim
(p>0,q>0)x∃022x+q-q0分析
此题是x∃0时的型未定式,在没有学习导数概念之前,常用的方法是消去分母中的0零因子,针对本题的特征,对分母、分子同时进行有理化便可求解.但在学习了导数的定义式之后,我们也可直接运用导数的定义式来求解.2222解
令f(x)=x+p,g(x)=x+qf(x)-f(0)22x+p-px-0f#(0)p原式=lim=lim==x∃022x∃0g(x)-g(0)g#(0)qx+q-qx-0x2xnxe+e+%+e1例2
求极

4、限lim()x,其中n是给定的自然数.x∃0n*收稿日期:2007-01-05第10卷第5期






李
萍,成立花:巧用导数的定义式求极限19&分析
此极限式是x∃0时的1型未定式,我们对此极限式作初等变形,把它转化为导数的定义式的形式.x2xnxx2xnx1e+e+%+eln(e+e+%+e)-lnnf(x)-f(0)解
由于limln()=lim=limx∃0xnx∃0x-0x∃x0x-0x2xnx=f#(0),其中f(x)=ln(e+e+%+e),故1ex+e2x+%+enxln(ex+e2x+%+enx)-lnnn+1limln()limf#(0

5、)原式=ex∃0xn=ex∃0x-0=e=e2f(x+tx)1例3
设f是(0,+&)上的恒正可微函数,证明lim()t存在,并对任何x不为零.t∃0f(x)证
令x>0及t>0.由于f是正的而对数函数是连续的,故有下列式子成立f(x+tx)1f(x+tx)1lnlim()t=limln()tt∃0f(x)t∃0f(x)lnf(x+tx)-lnf(x)x(lnf(x+tx)-lnf(x))=lim=limt∃0tt∃0txxf#(x)=x(lnf(x))#=f(x)f(x+tx)1xf#(x)从而lim()t=ef(x),故命题成立.t∃0f(x)例4
设f(

6、x)在[a,b]上连续,a

7、x)-f(1)例5
设f(x)=e,求lim.x∃1x-1分析
常规的做法是先求出函数f(x)在点2-x和1处的函数值并化简极限式,利用L
Hospital法则求解.但如注意到导数的定义式的形式和特点,则可直接运用导数的定义式进行求解.f(2-x)-f(1)f(1+(1-x))-f(1)解


lim=lim(令1-x=h)x∃1x-1x∃1-(1-x)f(1+h)-f(1)f(1+h)-f(1)=lim=-lim=-f#(1)=h∃0-hh∃0h(下转第24页)24高等数学研究
















2007年9月可得如下一般性结果:n-1(n)

8、1(k)kf(x)>0(x((a,b)