高中数学知识重组、网络建构系列之集合与不等式：专题五 基本不等式含解析

《高中数学知识重组、网络建构系列之集合与不等式：专题五 基本不等式含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、专题五基本不等式•主干知识互联，提纲挈领不等式字nJ亦(。〉o,b>o)称为基本不等式，常见的与这个不等式有关的其它不等式有：a+b>2y[cib(6f>0,Z?>0),6fZ?<(a,bw/?).<[ab5§J*；〃(a,b>0)■x+—>2(x>0)，—+—>2(ab>0)^.xba•重点难点突破，抓住核心考向1利用基本不等式求函数最大值、最小值【例1][2015高考湖南，文7】若实数Q"满足1°—^-—=4ab,则db的最小值为（）abA.V2B.2C・2a/2D.4【答案】C.I2【解析】•••一+—=yfab,.a>0.b>0.ah-

2、+->2J--,/.aZ?>2V2（当且仅abab当b=2a^取等号),:.ab的最小值为2迈,故选C.【例2]【2015高考福建文5]若直线兰+』=1@>00>0)过点(1,1)，贝ija+b的最小值ab等于()A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】由已知得-+-=1,贝Uab•方法规律提升，融会贯通1•应用基木不等式求最值的条件利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等，(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化

3、成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发牛错误的地方.2.利用基本不等式求最值问题的常见类型及解题策略(1)知和求积的最值•求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最犬(JAa+b=(a+b}—+—b)=2+纤纟.ab值”•但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立.2,故・・・°>o,b>o,・W+評baab-=即时a=b=2取等号.ba(2)知积求和的最值•明确“积为定值，和冇最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基木不等式求最值的条件.

4、(3)构造不等式求最值•在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解.【变式训练1[2016海南考前模拟】设均为正数，且丄+丄=丄，则卩的最小值为x+ly+12()A.16B.15C.10D.9【答案】D【解析】因为兀尹均为正数，且亠+亠=二所以「乌+2整理可得：冷=乂+/+3,x+ly+12(x+lXy+1)2由基本不等式可得冷工砺+3,整理可得(佝尸-2历-3巴0,解得扬二3或历兰-1(舍去力所以冷二9,当且仅当x=y时取等号，故冷的最小值为9,故选D.考向2利用基本不等式证明不等式【例3】【2

5、016枣庄段考】设a,b,c都是正数,求圧T+f+T^a+b+c•clC【解析】Ta,b,c都是正数，・・・丁，E辿都是正数•be,ca、・・盲+丁込当且仅当a=b时等号成立，学+黔2a,当且仅当b=c吋等号•方法规律提升，融会贯通利用基本不等式证明不等式时，首先耍观察题屮要证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式，则考虑利用拆项、配凑等方法对不等式进行变形，使之达到能使用基本不等式的条件；若题目中还有已知条件，则首先观察已知条件和所证不等式Z间的联系，当已知条件中含有1时,要注意1的代换.另外,解题中要时刻注意等号能否取到.辿+匹22b,当且

6、仅当Ca=c时等号成立.三式相(becaab^加,得2匕+T+T$2(a+b+c),即匹+半+辿Ma+b+c,当且仅当a=b=ca0c时等号成立.【变式训练】设a,b均为正实数,求证：右+*+ab$2迈.证明：由于a,b均为正实数，所以占+卜2、住・書=斗，当且仅当A=A,即aabyababab=b时等号成立，乂因2i22it9为—+ab^2A/—•ab=2^/2,当且仅当77=ab时等号成立，所以飞+门+曲2〒+3.D13Ddt)£L03D此三2寸i当且仅当a2~b2>即a=b=般吋取等号.考向3利用均值不等式解决实际问题【例4】为了降低能源

7、损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层.体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：力元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)=—-—(0

8、k的值及/(兀)的表达式;实际意义及其取值范围.(2)隔热层修建多厚吋，总费用/(x)达到最小?(4)在应用基本不等式求函