高中数学知识重组、网络建构系列之集合与不等式：专题六 恒成立问题含解析

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1、专题六恒成立问题•主干知识互联，提纲挈领1.CIX1+bx+c>O(aHO)乂土一切兀w/?恒：成立0a>0,A=/?2-4ac<0.ax2+bx+cvO(q工0)对一切xw/?恒成立oa<0,A=/?2-4ac<0.2.若不等式/(x)>A在区间Q上恒成立，则等价于在区间上/(x)i.>4；若不等式f{x)

2、福建丿夏门一中高三质量检测】函数/(x)=-x2+3x4-<7,g(x)=2V-x2,若.f[g(x)]no对XW[0,1]tH成立，则实数Q的取值范围是()A.[―e,4-oo)B.[_ln2,+8)(iqC.[-2,+oo)D.--,0【答案】c.【解析】令r=g(x),xe[0,1],则g'3=2xln2一2兀设g‘(兀°)=0,则函数g(兀)在[0,x0]±单调递增，在上[兀o，l]单调递减,g(x)在xw[0,1]的值域[1，g(兀0)](g(兀0)=2心一兀。2),/(r)>0,即a>t2-3tf.

3、a>-2.故选C.【变式训练】•方法规律提升，融会贯通若不等式/(兀)>A在区间D上恒成立，则等价于在区间上/(对简〉人；若不等式/(兀)vB在区间D上恒成立，则等价于在区间。上f(x}O(aHO)乂土一切兀w/?恒：成立0a>0,A=/?2-4ac<0.ax2+bx+cvO(q工0)对一切xw/?恒成立oa<0,A=/?2-4ac<0.2.若不等式/(x)>A在区间Q上恒成立，则等价于在区间上/(x)i.>4；若不等式f{x)

4、在区间D上恒成立,则等价于在区间D±/(x)max

5、2兀设g‘(兀°)=0,则函数g(兀)在[0,x0]±单调递增，在上[兀o，l]单调递减,g(x)在xw[0,1]的值域[1，g(兀0)](g(兀0)=2心一兀。2),/(r)>0,即a>t2-3tf.a>-2.故选C.【变式训练】•方法规律提升，融会贯通若不等式/(兀)>A在区间D上恒成立，则等价于在区间上/(对简〉人；若不等式/(兀)vB在区间D上恒成立，则等价于在区间。上f(x}

6、厂++c~v100C.若a+b+c'+d+b—c^Wl,则a""+Z?~+c~vl00D.若a，+b+c+a+—c51,则/++c"v100【答案】D【解析】采用反例排除法：令@=〃=10#=—110,排除此选项A；令@=10上=一100#=0,排除此选项巧令0=100上=一100*=0,排除此选项C,故选D・2.［2016全国大联考1课标T卷】已知函数f(x)=x2-cix-ax(cieR),g(x)=-x3+-x2+2x-6,g(x)在［1,4］上的最大值为b,当xg［1,+oo)时，y(x)>h恒成2立

7、，求d的取值范围.【答案】tz0在兀w［l,+8)上恒成立，山xw［l,+oo)知，x+lnx>0,所以/W>0恒成立等价于a<—-——在xg[e,+x)时恒成立，令/?(%)=—-——，xe[1,+*),冇x+lnxx+lnx/?(%)=心T)+Rnx>°,所以加切在［i,+8)上是增函数，有/2(力>/?(1)=1,所以^<1.(x+lnx)~•方

8、法规律提升，融会贯通不等式恒成立问题可以与其它知识产生交汇，如数列、函数与导数、解析几何、常用逻辑用语等.考向2恒成立与其他知识的交汇【例2】【2016押题卷1课标1卷】已知S”是数列77n{p}的前斤项和，若不等式

9、/L+HvS”+f对一切nwM恒成立，则2的取值范围是【解析】由S产l+2xg+3x*+…+S-1)•占+時=lxl+2x-!7+•••+(^-1)-^+^