专题：不等式恒成立、能成立、恰成立问题

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1、专题：不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用恒成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内总是成立的,例如：x230,在实数范围既XWR内恒成立能成立，也就是一个代数式在某一个给定的范围内存在值使这个代数式成立，使代数式成立的值有可能是一个，两个或是无穷多个，即个数是不定的，而在这个给定的范围内可以存在使这个代数式不成立的值，也可以不存在这样的值，例如：x+l〉0在x>-2上能成立.恰成立，也就是一个代数式在某一个给定的范围内恰好是成立的,或是说这个代数式只有在这个范围内成立，在这个范围外的值都不能使这个代数式成立，而这个代数式里面的值均能使这个代数式成立.例如：（x-l）2二0,在x二1时

2、恰成立.可以说恰成立时恒成立的一种特例，在给定的范围内恰成立肯定是恒成立的，但是恒成立的条件屮还有可能符合代数式的在给定的范围之外，即恒成立不一定包含了满足这个代数式的所有的值，但是恰成立包含了满足这个代数的值，并且给定的范围也全都满足这个代数式.例如:x+l>0在x>-5上是能成立的，在x>-l上是恰成立也是恒成立的.而在-l

3、等式/（兀）>人在区间D上恒成立，则等价于在区间D上/（小品>人，o的下界大于A⑵若不等式/（兀）<$在区间D上恒成立,则等价于在区间D±f（X）nux0/(«)>o丿（X）<0恒成立/(n)<0类型二：二次函数类型一用二次函数的图像设/(兀)=处2+加+c(aH0),(1)f(x)>0&cgR上恒成立oa>0且AvO；(2)/(兀)<0在xwZ?上恒成立00<0且4<0。类型三：二次函数在闭区间上恒成立的问题：设f(x)=ax1-^bx-hc(a^O)(1)当d>0时，/

4、(兀)>0在xw[a,0]上恒成立/(%)<0在rg［q,0］上恒成立of(a)<0/(0)<0(2)当g<0时,/(%)>0在兀g{a,f3上恒成立og>0/(/?)>0bhbnO<2a或］a<-2a<0或>02a，〔/@)>0A<0■〔/(0)>o/(x)<0在rg［q,0］上恒成立o•b0/(a)>0A<0■〔/(〃)Q对一切XG/恒成立o/(x)inin>a/(兀)<4对一切Xe/恒成立<=>/(x)inaxg(x)o函数f(x)图象恒在函数g(x)图象上方;2)/(x)<

5、g(兀)o函数/(兀)图象恒在函数g(x)图象下上方。恒成立问题解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法(分离常数法)、数形结合等解题方法求解。例题：例1、(1)对任意£zg[-1,1J,不等式兀？+(a_4)x+4—2a>0恒成立，求x的取值范围。解：分析：题小的不等式是关于X的一元二次不等式，但若把Q看成主元，则问题可转化为一次不等式(x—2)q+«?_4兀+4>0在1,1]上恒成立的问题。令/(g)=(x_2)q+jc2_4x+4,则原问题转化为/(。)>0恒成立(aw[-l,l])。当x=2吋，可得f(a)=0,不合题意。当兀工2时，应有卩⑴>

6、°解Z得兀vl或¥>3。1/(-1)>0故X的取值范围为(-00,1)U(3,4-oo)o例1、已知函数/(X)的定义域为/?,求实参数R的取值范围：(1)y=lg[F+伙一1)兀+上2](2)/(x)=logw(2x2-4A^4-l-Z:)；(3)/(x)={2x2-4kx+l-k；(4)f^x)=]oga^kx2-4fcc+l-Zr)；解：(1)由题设可将问题转化为不等式F+伙_1)兀+£2>o对xer恒成立，即有A=伙—1)2-4k2<0解得£<—1或R>-o所以实数k的取值范围为(-°0,一1)U(£,七°)°(2)/(兀)的定义域为/?O关于X的不等式2/—4尬+1—£>0的解集为

7、1(1AR016^—8(1—k)<0o(k+l)(2£—l)vOo—l<£<—,・・・ke-1,-。2I2丿(3)/(兀)的定义域为/?O关于X的不等式2^—4尬+1—£的解集为R‘2°016^—8(1-k)50o(k+l)(2k-l)W0o-1"丄・・・kw(4)/(兀)的定义域为/?O关于X的不等式2-4也+1-£>0的解集为/?oP=0或vk>0o£=0或0<£v丄00<£<丄，.Ike