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时间:2019-08-27
《专题:不等式恒成立、能成立、恰成立问题》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、专题:不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用恒成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内总是成立的,例如:x230,在实数范围既XWR内恒成立能成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内存在值使这个代数式成立,使代数式成立的值有可能是一个,两个或是无穷多个,即个数是不定的,而在这个给定的范围内可以存在使这个代数式不成立的值,也可以不存在这样的值,例如:x+l〉0在x>-2上能成立.恰成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内恰好是成立的,或是说这个代数式只有在这个范围内成立,在这个范围外的值都不能使这个代数式成立,而这个代数式里面的值均能使这个代数式成立.例如:(x-l)2二0,在x二1时
2、恰成立.可以说恰成立时恒成立的一种特例,在给定的范围内恰成立肯定是恒成立的,但是恒成立的条件屮还有可能符合代数式的在给定的范围之外,即恒成立不一定包含了满足这个代数式的所有的值,但是恰成立包含了满足这个代数的值,并且给定的范围也全都满足这个代数式.例如:x+l>0在x>-5上是能成立的,在x>-l上是恰成立也是恒成立的.而在-l3、等式/(兀)>人在区间D上恒成立,则等价于在区间D上/(小品>人,o的下界大于A⑵若不等式/(兀)<$在区间D上恒成立,则等价于在区间D±f(X)nux0/(«)>o丿(X)<0恒成立/(n)<0类型二:二次函数类型一用二次函数的图像设/(兀)=处2+加+c(aH0),(1)f(x)>0&cgR上恒成立oa>0且AvO;(2)/(兀)<0在xwZ?上恒成立00<0且4<0。类型三:二次函数在闭区间上恒成立的问题:设f(x)=ax1-^bx-hc(a^O)(1)当d>0时,/4、(兀)>0在xw[a,0]上恒成立/(%)<0在rg[q,0]上恒成立of(a)<0/(0)<0(2)当g<0时,/(%)>0在兀g{a,f3上恒成立og>0/(/?)>0bhbnO<2a或]a<-2a<0或>02a,〔/@)>0A<0■〔/(0)>o/(x)<0在rg[q,0]上恒成立o•b0/(a)>0A<0■〔/(〃)Q对一切XG/恒成立o/(x)inin>a/(兀)<4对一切Xe/恒成立<=>/(x)inaxg(x)o函数f(x)图象恒在函数g(x)图象上方;2)/(x)<5、g(兀)o函数/(兀)图象恒在函数g(x)图象下上方。恒成立问题解题的基本思路是:根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化,正确选用函数法、最小值法(分离常数法)、数形结合等解题方法求解。例题:例1、(1)对任意£zg[-1,1J,不等式兀?+(a_4)x+4—2a>0恒成立,求x的取值范围。解:分析:题小的不等式是关于X的一元二次不等式,但若把Q看成主元,则问题可转化为一次不等式(x—2)q+«?_4兀+4>0在1,1]上恒成立的问题。令/(g)=(x_2)q+jc2_4x+4,则原问题转化为/(。)>0恒成立(aw[-l,l])。当x=2吋,可得f(a)=0,不合题意。当兀工2时,应有卩⑴>6、°解Z得兀vl或¥>3。1/(-1)>0故X的取值范围为(-00,1)U(3,4-oo)o例1、已知函数/(X)的定义域为/?,求实参数R的取值范围:(1)y=lg[F+伙一1)兀+上2](2)/(x)=logw(2x2-4A^4-l-Z:);(3)/(x)={2x2-4kx+l-k;(4)f^x)=]oga^kx2-4fcc+l-Zr);解:(1)由题设可将问题转化为不等式F+伙_1)兀+£2>o对xer恒成立,即有A=伙—1)2-4k2<0解得£<—1或R>-o所以实数k的取值范围为(-°0,一1)U(£,七°)°(2)/(兀)的定义域为/?O关于X的不等式2/—4尬+1—£>0的解集为7、1(1AR016^—8(1—k)<0o(k+l)(2£—l)vOo—l<£<—,・・・ke-1,-。2I2丿(3)/(兀)的定义域为/?O关于X的不等式2^—4尬+1—£ 的解集为R‘2°016^—8(1-k)50o(k+l)(2k-l)W0o-1"丄・・・kw(4)/(兀)的定义域为/?O关于X的不等式2-4也+1-£>0的解集为/?oP=0或vk>0o£=0或0<£v丄00<£<丄,.Ike
3、等式/(兀)>人在区间D上恒成立,则等价于在区间D上/(小品>人,o的下界大于A⑵若不等式/(兀)<$在区间D上恒成立,则等价于在区间D±f(X)nux0/(«)>o丿(X)<0恒成立/(n)<0类型二:二次函数类型一用二次函数的图像设/(兀)=处2+加+c(aH0),(1)f(x)>0&cgR上恒成立oa>0且AvO;(2)/(兀)<0在xwZ?上恒成立00<0且4<0。类型三:二次函数在闭区间上恒成立的问题:设f(x)=ax1-^bx-hc(a^O)(1)当d>0时,/
4、(兀)>0在xw[a,0]上恒成立/(%)<0在rg[q,0]上恒成立of(a)<0/(0)<0(2)当g<0时,/(%)>0在兀g{a,f3上恒成立og>0/(/?)>0bhbnO<2a或]a<-2a<0或>02a,〔/@)>0A<0■〔/(0)>o/(x)<0在rg[q,0]上恒成立o•b0/(a)>0A<0■〔/(〃)Q对一切XG/恒成立o/(x)inin>a/(兀)<4对一切Xe/恒成立<=>/(x)inaxg(x)o函数f(x)图象恒在函数g(x)图象上方;2)/(x)<
5、g(兀)o函数/(兀)图象恒在函数g(x)图象下上方。恒成立问题解题的基本思路是:根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化,正确选用函数法、最小值法(分离常数法)、数形结合等解题方法求解。例题:例1、(1)对任意£zg[-1,1J,不等式兀?+(a_4)x+4—2a>0恒成立,求x的取值范围。解:分析:题小的不等式是关于X的一元二次不等式,但若把Q看成主元,则问题可转化为一次不等式(x—2)q+«?_4兀+4>0在1,1]上恒成立的问题。令/(g)=(x_2)q+jc2_4x+4,则原问题转化为/(。)>0恒成立(aw[-l,l])。当x=2吋,可得f(a)=0,不合题意。当兀工2时,应有卩⑴>
6、°解Z得兀vl或¥>3。1/(-1)>0故X的取值范围为(-00,1)U(3,4-oo)o例1、已知函数/(X)的定义域为/?,求实参数R的取值范围:(1)y=lg[F+伙一1)兀+上2](2)/(x)=logw(2x2-4A^4-l-Z:);(3)/(x)={2x2-4kx+l-k;(4)f^x)=]oga^kx2-4fcc+l-Zr);解:(1)由题设可将问题转化为不等式F+伙_1)兀+£2>o对xer恒成立,即有A=伙—1)2-4k2<0解得£<—1或R>-o所以实数k的取值范围为(-°0,一1)U(£,七°)°(2)/(兀)的定义域为/?O关于X的不等式2/—4尬+1—£>0的解集为
7、1(1AR016^—8(1—k)<0o(k+l)(2£—l)vOo—l<£<—,・・・ke-1,-。2I2丿(3)/(兀)的定义域为/?O关于X的不等式2^—4尬+1—£ 的解集为R‘2°016^—8(1-k)50o(k+l)(2k-l)W0o-1"丄・・・kw(4)/(兀)的定义域为/?O关于X的不等式2-4也+1-£>0的解集为/?oP=0或vk>0o£=0或0<£v丄00<£<丄,.Ike
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