资源描述：
《不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析一、不等式恒成立问题问题引入：已知不等式对恒成立，其中，求实数的取值范围。分析：思路（1）通过化归最值，直接求函数的最小值解决，即。思路（2）通过分离变量，转化到解决，即。思路（3）通过数形结合，化归到作图解决，即图像在的上方。小结：不等式恒成立问题的处理方法1、转换求函数的最值：（1）若不等式在区间D上恒成立,则等价于在区间D上的下界大于A；（2）若不等式在区间D上恒成立,则等价于在区间D上的上界小于B。tg(t)o·1图1t=m例已知对任意恒成立，试求实数的取
2、值范围。解：等价于对任意恒成立,又等价于时,成立.由于在上为增函数,则,所以2、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式；（2）求在上的最大（或最小）值；（3）解不等式(或)，得的取值范围。例已知函数时恒成立，求实数的取值范围。解：将问题转化为对恒成立。13令，则由可知在上为减函数，故∴即的取值范围为。注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。例已知二次函数，若时，恒有，求的取值范围。解：，，即（1）当时，不等式显然成立，（2）当时，由得，，．又，，．综上得，的取值范
3、围为。3、数形结合法（1）若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方；（2）若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方。例设,,若恒有成立,求实数的取值范围.x-2-4yO-4分析：在同一直角坐标系中作出及的图象如图所示，的图象是半圆的图象是平行的直线系。要使恒成立，则圆心到直线的距离13满足解得（舍去)例当时，不等式恒成立，求的取值范围．分析：注意到函数，都是我们熟悉的函数，运用数形结合思想，可知要使对一切，恒成立，只要在内，的图象在图象的上方即
4、可．显然，再运用函数思想将不等式转化为函数的最值问题，即．解：设，，则要使对一切，恒成立，由图象可知，并且，故有，，又点评：通过上述的等价转化，使恒成立的解决得到了简化，其中也包含着函数思想和数形结合思想的综合运用。此外，从图象上直观得到后还需考查区间右端点处的函数值的大小。4、变换主元法例对于满足的一切实数，不等式恒成立，试求的取值范围。分析：习惯上把当作自变量，记函数，于是问题转化为：当时，恒成立，求的取值范围．解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的
5、。解：设函数，显然，则是的一次函数，要使恒成立，当且仅当，且时，解得的取值范围是。点评：本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，把它化归为关于的一次函数，利用一次函数的单调性求解，解题的关键是转换变量角色。例对任意，不等式恒成立，求的取值范围。分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。13解：令，则原问题转化为恒成立（）。当时，可得，不合题意。当时，应有解之得。故的取值范围为。注：一般地，一次函数在上恒有的充要条件为。例设函数，对任意，
6、都有在恒成立，求实数的取值范围。分析：解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数。以本题为例，实质还是通过函数求最值解决。方法1：化归最值，；方法2：变量分离，或；方法3：变更主元，，简解：对于方法3：变更主元，原函数可以看成是关于的函数，只需即可，因为，所以当时有最大值在恒成立，只需。当时，，得的取值范围是。练习题1、设,当x[-1,+]时，都有恒成立，求a的取值范围。解：a的取值范围为[-3，1]2、R上的函数既是奇函数，又是减函数，且当时，有恒成立，求实数m的取值范围。tg(t)o·
7、1图2t=m解：由得到：因为为奇函数，故有恒成立，又因为为R减函数，从而有对13恒成立。设，则对于恒成立，设函数,对称轴为.tg(t)o·1图3t=m①当时，，即，又∴(如图1)②当，即时,,即,∴,又,∴(如图2)③当时，恒成立.∴（如图3）故由①②③可知：.3、若不等式对恒成立，实数a的取值范围是。4、若对于任意，不等式恒成立，求实数x的取值范围解：5、当时，不等式恒成立，则的取值范围__________解析：当时，由得.∴.O6、若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是________解析：
8、对,不等式恒成立则由一次函数性质及图像知，即。二、不等式能成立问题若在区间D上存在实数使不等式成立，则等价于在区间D上；若在区间D上存在实数使不等式成立，则等价于在区间D上的13例已知不等式在实数集R上的解集不是空集，求实数的取值范围______解：例若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是__________解：设.则关于的不等式的解集不是空集在R上能成立,即解得或三、不等式恰好成立问题例不等式的解集为则__________：6例已知，当的值域是，试求实数的
