不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用

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1、不等式恒成立.能成立.恰成立问题分析及应用问题引入：例1:已知不等式无2—2处+1>0对Xe[1,2]恒成立，其中Q〉o.求实数d的取值范围.分析：思路1、通过化归最值,直接求函数f(x)=x2-2ax+l的最小值解决,即/min(x)>0o兀2+111x24-1思路2、通过分离变塑，转化到QV=_(%+_)解决，即qv()n.no2x2x2x思路3、通过数形结合，化归到H+l>2血作图解决，即y=i2+l图像在y=2ax的上方.小结：不等式恒成立问题的处理方法1、转换求函数的最值：⑴若不等式A

2、(兀)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上AV/(无)価O/(x)的下界大于A⑵若不等式B>f{x)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上B>/(^)IWXo/(兀)的上界小于B。2、分离参数法，1UX(1)将参数与变量分离,即化为g(A)>f(x)(或g(A)/(x)max(或g⑷S/(兀)丽),得2的取值范围。3、转换成函数图象问题⑴若不等式/(x)>g(兀)在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数y=/(

3、兀)和图象在函数y=g(x)图象上方；⑵若不等式f(x)0—2。兀+1>0T1眦一2飯+1>0均恒成立，该如何处理？例2：已知函数f(x)=x2-2ax+lfg(x)=—,其中a>0,兀工0・1)对任意xg[1,2],都有f(x)>g(x)恒成立，求实数g的取值范围；2)对任意g[1,2],x2g[2,4]，都有/(%!)>g(x2)恒成立,求实数Q的

4、取值范围;【分析:】1)思路、等价转化为函数f(x)-g(x)>0恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决.2)思路、对在不同区间内的两个函数/(X)和g(X)分别求最值，即只需满足/n.n(X)>^max(X)即可.33简解：(1)由X2-2ax+-->0^a<^-^-成立，只需满足©(兀)=兰工的最小值x2x2+12x2+14-Y4--I-1大于d即可.对0(兀)=丄戶求导，(pf(x)=T>0,故0(x)在xe[1,2]是增函2x2+1*(2/+1)2十2?数,久ind)=0(l)=q，

5、所以d的取值范围是0

6、«

7、・分析：思路.解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数.以本题为例，实质还是通过函数求最值解决.方法1：化归最值,h(x)<10<»/zin.lx(x)<10；ac方法2：变量分离，b510—(—兀)或a5—x^+(10—Z?)兀；x方法3：变更主元，©(a)=丄«a+x+/7-10<0,ae-,2]x2简解：方法1：对h(x)=g

8、(x)+x+h=-+x+h求导，笊兀)=1_£二上迦空"，X厂JT由此可知，h(x)在丄,1]上的最大值为/?(-)与加1)屮的较大者•44..时於丄4出+亦10=牛罟-心，对于任意dw[*,2],得b的取值范围是b<^./?(1)<10l+a+b<b<9-a练习题1>设/(x)=x2-2ax+2,当x&[T,+°°]时，都有f^x)>a恒成立，求a的取值范围。解：3的取值范围为［-3,1］2v*-PQY+（12、已知于（兀）=——对任意Jte［l,4w）,/（x）>0恒成立，试求实数。的取值范

9、围;解：等价于0（兀）=兀2+2兀+°»0对任意无丘［1,+00）匸亘成立，又等价于兀》1时，0（x）minno成立.由于0（兀）二（兀+1）2+°—1在［l,+oo）上为增函数，则0min（X）=°（l）=d+3,所以67+3>0^>6Z>-3（兀、3、R上的函数/（兀）既是奇函数，又是减函数，且当〃w0,-2丿时，有f^cos20+2/77sin+f（-2m-2）>0恒成立，求实数m的取值范围.的取值范围为(-00,-1]2、主参换位法_，+0025、若不等式ax-<0对xe[l,2]恒成立

10、,实数a的取值范圉是解：由/(cos2<9+2msin6^)+/(-2m-2)>0得到：f(cos26+2msin<9)>-f{-2m-2)因为/(x)为奇函数，故有/(cos24-2/??sin^)>/(2m4-2)恒成立,又因为/(兀)为R减函数，从而有cos?0+2加sin。<2加+2对(兀、90丘0,-恒成立。设sin^=r,则”_2/巾+2^+1>o对于I2丿虫(0,1)恒成立，设函数g(f)=“-2/77/+2m+1,对称轴为t=m①当r=m<0时，g(0