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《【高考必备】高中数学知识重组、网络建构系列之函数与导数：专题一 导数的概念与几何意.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、•主干知识互联，提纲挈领1.导数的概念称函数y=f3在*=心处的瞬时变化率/（珀）+心）二/（如）=鱼为函数y=f（x在心AxX=X（）处的导数’记作/'（如）或）仁’即厂（X。）=帆学=帆小旦：）—小））丫一巾AytOArAytOAy称函数/吒©二职上上吐丿a为于（X）的导数函数，简称为导函数.2.基本初等函数的导数公式原函数导函数f（x）=c（c为常数）fr(x)=Of{x)=/(/?eQ*)f(x)=nx~xf(x)=sinx尸(x)=cosxf(x)=cosXf(/)=—sinxf{x)=af(0=Qrln&f(x)=e尸（0=erf(x)
2、=lo辭F3—1xLnaf{x)=lnxf(%)=-X3.导数的几何意义函数y=/（%）在点X。处的导数广（心）就是曲线y=/（x）在点（x0,/（x0））处的切线和斜率,即k=fxQ）.相应地，切线方程为j-/（x0）=/（jc0）（x-x0）.•重点难点突破，抓住核心考向1导数的概念•方法规律提升，融会贯通利用定义求函数导数的一般步骤：第一步，求函数的增量△）=/（勺+Ar）-【例1】【人教新课标A版选修2-2第6页例1】将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产晶,需要对原油进行冷却和加热.如果在第兀力时，原油的温度（单位：°C）为4Ax+(A
3、x)2-7A¥;=3）u./（x）=x—7^+15（05x58）计算第2/z与第6/2时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.【解析】在笫2/2与笫6/2时，原油温度的瞬时变化率就是/吒2）和/《6）,根据导数的定义,Ay=/（2-f-Ax）-/（2）AxArAr第二步，求平均变化率△y二/（无）+心）-/（禺）：AxAx第三步，取极限得导数门切“曲冬“訂比+心）一/（如）.&T0心xto心•方法规律提升，融会贯通1.曲线的切线的求法：若已知曲线过点P（x0,j0）,求曲线过点P的切线则需分点P（x0,儿）是切点和不是切点两种情况求解.（1）点P
4、（x0,3'0）是切点的切线方程为歹一）'0=/1兀0）（兀一％）•（2）当氐,％）不是切点时可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标尸（西J（兀J）；第二步：写出过昨訂（州））的切线方程为•••/'（2）=肥詈"，同理可得张）=5,故在第2力与第6%时,原油温度的瞬吋变化率分别为・3与，它说明在第2〃附近，原油温度大约以3°C/〃的速度下降；在第6力附近，原油温度大约以5°c/h的速度上升.一般地，/（观）反映了原油温度在时刻勺附近的变化情况.考向2求曲线的切线方程【例2】求过点4（2,8）,且与曲线f（x）=x3相切的直线方程.【分析】伦8）满足/
5、⑴，但题目并没有说明A是否为切点，・・・要分A是否为切点进行分类讨论.当人是切点时，易于求出切线方程,当A不是切点时，切点未知，从而先设再求，设切点（禺』0）,切线斜率为三个未知量需用个条件求【解析】甘0-力①）b二./do）；②£=/（耳）；③兀_占【解析】（1）当"（厶®为切点时，/（x）=3x2・•・./■（2）=12,.・•切线方程为：y-8=12（x-2）,即12x-y-16=0.（2）当A（2,8）不是切点时，设切点尸（兀0，儿）（兀0工2）,切线斜率为RJo=xo-k=3xl,消去広儿可得.兀0_2第三步：将点P的坐标（Ao，%）代入切
6、线方程求出曲；第FI步：将西的值代入方程>?-/（xi）=/，（xi）（x~xi）可得过点P（xo,>o）的切线方程•2.在处理切线问题时要注意审清所给已知点是否为切点.“在某点处的切线”意味着该点即为切点，而“过某点的切线”则意味着该点有可能是切点，有可能不是切点.如果该点恰好在曲线上就需要进行分类讨论.体会切点分别代入到函数与导函数中所起到的作用，体会切点横坐标在切线问题中的关键作用.兀；—8=（兀。—2）（X；+2xq+4）.TA*。H2,・•・方程o3疋=斥+2勺+4o斥—JQ）—2=0,解得：人）=2（舍），X。=一1•・•%=—1,£=3
7、,・••切线方程为y+l=3（x+l）,即3x—y+2=0.综上所述：切线方程为12x-y-16=0或3x—y+2=（）・【变式训练】已知函数/*（兀）=ln兀+2兀，问:（1）在曲线/（兀）上是否存在一点，在该点处的切线与直线4x-y-2=0平行;（2）在曲线/（兀）上是否存在一点，在该点处的切线与直线x-y—3=0垂直.【答案】（1）存在,【分析】（1）切点未知，考虑设切点坐标为（兀。,儿），再利用平行条件求岀无），进而求出切线方程;（2）与（1）类似，切点未知，设切点坐标为（兀0，儿），由垂直关系可得切线斜率与已知直线斜率互为负倒数，列出方程求
8、出x（）,进而求出切线方程.【解析】（1）设切点塑标为（兀0，凡），・・・/'（无（））=丄+2,由切线与4
