《解三角形》正、余弦定理的综合运用课件

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时间:2019-10-04

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1、正,余弦定理的综合应用1、正弦定理:(其中:R为△ABC的外接圆半径)3、正弦定理的变形:2、三角形面积公式:一.复习回顾:变形余弦定理:在中,以下的三角关系式,在解答有关三角形问题时,经常用到,要记熟并灵活地加以运用:[例1]在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC,试判断三角形的形状.[分析]由题目可获取以下主要信息:①边角之间的关系:b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC;②确定三角形的形状.解答本题先由正弦定理将边转化为角,然后由三角恒等式进行化简,得出结论;也可先由余弦定理及同角三角

2、函数关系转化成边之间的关系,然后由边的关系确定三角形形状.则条件转化为4R2·sin2C·sin2B+4R2·sin2C·sin2B=8R2·sinB·sinC·cosB·cosC,又sinB·sinC≠0,∴sinB·sinC=cosB·cosC,即cos(B+C)=0.又0°

3、由余弦定理有a2=b2+c2-2bccosA,又∵sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC且sinA=2sinBcosC,∴sinBcosC=cosBsinC,即sin(B-C)=0,∴B=C,又B+C=120°,∴B=C=60°.故△ABC为等边三角形.例2在△ABC中,求证:(1)(2)分析:这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题,观察式子左右两边的特点,联想到用正弦定理来证明.===k.显然k≠0,所以左边==右边.证明:(1)根据正弦定理,可设(2)P18例9解题关键:利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化

4、为只含边的式子或只含角的三角函数式,然后化简并考察边或角的关系,从而确定三角形的形状.特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用.练习:在任一△ABC中求证:a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)=0证明:左边===0=右边[例3]在△ABC中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,求△ABC的最大内角的正弦值.[分析]本题主要考查了余弦定理及大边对大角等平面几何性质,要求出最大内角的正弦值,须先确定哪条边最大(同时表达出边a、b、c的长),然后应用余弦定理先求出余弦值,

5、再求正弦值.[点评]本题中比例系数k的引入是解题的关键.典型例题(安徽09文).(本小题满分12分)在ABC中,,。(I)求的值;(II)设,求ABC的面积。高考欣赏(安徽10文)△ABC的面积是30,内角A,B,C,所对边长分别为a,b,c,cosA=.(1)求(2)若c-b=1,求a的值.高考欣赏作业:

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