正余弦定理的综合运用

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1、正弦定理、余弦定理综合运用知识目标：1、三角形形状的判断依据；2、利用正弦、余弦定理进行边角互换。能力目标：1、进一步熟悉正、余弦定理；2、边角互化；3、判断三角形的形状；4、证明三角形中的三角恒等式。教学重点：利用正弦、余弦定理进行边角互换。教学难点：1、利用正弦、余弦定理进行边角互换时的转化方向；2、三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系。余弦定理：正弦定理：复习：（R是三角形外接圆半径）实现边角互化余弦定理的变式正弦定理的变式例1．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则（）（A）△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形

2、（B）△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形（C）△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形（D）△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形题型一:判断三角形形状解：△A1B1C1的三个内角的余弦值都大于0，所以△A1B1C1是锐角三角形，若△A2B2C2也是锐角三角形，则sinA2=cosA1=sin(－A1)，则A2=－A1，同理B2=－B1，C2=－C1，矛盾所以△A2B2C2不是锐角三角形，选D。则A2+B2+C2=－(A1+B1+C1)=，2p小结一：判断三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形：一个方向是边，走代数变形之路，通常是正

3、、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，通常是运用正弦定理，这也要求同学们所学三角公式要熟悉，已知三角函数值求角时，要先确定角的范围在中，若，则是()A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等边三角形D练习一题型二：三角形中的化简求值题例2：△ABC中，已知a=2，求bcosC＋ccosB的值。解:（化角为边）由余弦定理得：bcosC＋ccosB＝＋c·b·解法二:（化边为角）由正弦定理得：bcosC＋ccosB＝例2：△ABC中，已知a=2，求bcosC＋ccosB的值。射影定理：a=bcosC＋ccosB,b=ccosA+acosC,c=acos

4、B+bcosA解法一：代入得：由正弦定理得：（化边为角）例3：解法二：由余弦定理得代入得：整理得（化角为边）例3：解：由余弦定理知：（化边为角）练习二题型三:证明恒等式方法一:边化角;方法二:角化边;小结三：由边向角转化后，要熟练运用三角函数公式，有时又要由角转化为边；三角形中的有关证明问题，主要围绕边与角的三角函数展开，从某种意义上来看，这类证明问题就是有了目标的含边与角的式子的化简问题。练习：在△ABC中，求证：a2sin2B+b2sin2A=2absinC题型四、面积问题变式4、已知△ABC的三边长求△ABC的面积变式3、已知△ABC的面积求C角的大小？变式1.△A

5、BC的面积为求A变式2、在△ABC中，求△ABC的面积及外接圆半径例5、a,a+1,a+2构成钝角三角形，求a的取值范围。变式：锐角三角形的三边长为2,x,3，求x的取值范围。练习：三条线段长度为2,x,6(1)求构成直角三角形时，x的取值范围(2)求构成锐角三角形时，x的取值范围(3)求构成钝角三角形时，x的取值范围题型五、范围问题1、（07年全国卷）方法一：正弦定理（1）方法二：余弦定理（2）方法一：向量数量积定义方法二：勾股定理（3）余弦定理小结：1、学会利用正弦、余弦定理解决两类题型：（1）判断三角形的形状；（2）三角形中的求值题。2、两种题型思路的共同点就是从“

6、统一”着眼，或统一转化为三角函数，作三角变换；或统一转化为边，作代数变换。3、解三角形中的求值题时还要注意综合运用三角形的有关性质和三角公式进行变形。4、本节课渗透的主要数学思想：转换的思想和方程的思想