专题2.4函数、不等式中恒成立问题（讲）-2017年高考数学（理）二轮复习讲练测

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1、纵观近儿年高考对于函数、不等式中恒成立问题的考查，重点是涉及到一次函数、二次函数的性质、不等式的性质及应用，图彖渗透和换元、化归、数形结合、函数与方程、分类讨论、转化等数学思想方法.往往与导数相结合，在处理复杂问题时转化成为“恒成立问题”•解答这类题目应首先克服畏惧心理，通过总结高中阶段出现的这类问题的类型，形成完整的知识、方法体系，提高应对能力.一.函数性质法1.一次函数/(兀)=kx+b(kH0)若y二/(劝在［加，司内恒有/(x)>0,则根据函数的图像可得/(兀)在［w］内恒有/(%)<0则有［/(肋

2、/(«)

3、/?

4、<2的所有实数p,求使不等式兀$+px+l>2p+x恒成立的兀的取值范虱2.二次函数一一利用判别式、韦达定理及根的分布求解有以下几种基本类型：类型1：设/(%)=ax2+bx+c(a0).(1)f(x)>0在jcgR上恒成立oo>0且4<0；(2)/(x)<0在xgR±.恒成立Odv0_&Av0.类型2：设/(x)=ax1+bx+c(a^0).(1)当a>0吋,f(x)>0^xe[a./3]上恒成立bAA<0[/(/?)>o.f(x)<()在JX［a,0

5、］上恒成立0fW<0,/(0)vO・(2)当gvO时,fx)>0在JVG0］上恒成立Op(Q)>0,b(0)>o・/(%)<0在兀w［a,0］上恒成立u>b0A<0JbR>0,2a/(0)<0.例2【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研】已知定义在/?上的奇函数/(x)满足：当xhO时,/(x)=x3,若不等式/(-4/)>/(2加+加)对任意实数/恒成立，则实数加的取值范围是()A.(―8,—B.(―J^,0)C.(-8,0)

6、(血,+8)3・其它函数：对于恒成立的问题，常用到以下结论：(1)a>/(x)tl成•'、/：odn/(兀鳥；(2)a0恒成-立O/(Qnin>°(注：若/(兀)的最小值不存在，则/U)>0恒成立O/(X)的下界大于0)；/(%)<0恒成立o/(x)max<0(注：若/(X)的最大值不存在，则/(X)<0恒成立<=>f(x)的上界小于0)・例3已知函数/(X)满足f(log“兀)二一(x-x_l),其中G>0,且GH1.a~-(1)求函数y=f(x)的解析式

7、，并判断其奇偶性；(2)当XG(-00,2)时，/(%)-4的值恒为负数，求实数。的収值范围分离参数法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范RI.利用•分离参数法来确定不等式/(x,A)>0(xg£>,久为实参数)恒成立中参数久的収值范围的基本步骤:（1）将参数与变量分离,即化为g⑷，兀）（或g（2）＜/（x））恒成立的形式；（2）求/（兀）在xeD±的最大（或一最小）值；（3）解不等式g⑷/（兀）唤（或g⑷＜/（兀）罰），得几的取值范围.适用题

8、型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出.例4【浙江省绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测（二模）】对任意xwR不等式x2+2

9、x-6z

10、＞^2恒成立，则实数Q的取值范围是.例5.己知函数夬兀）=1.⑴若对于xeR,fix）V0恒成立，求实数加的取值范围；⑵若对于xe[i,3],兀0＜5—加恒成立，求实数加的取值范围.三.主参换位——反客为主法某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度“反客为主”，即把习惯上的主元变

11、与参数变量的“地位”交换一下，变个视角重新审查恒成立问题，往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化，起到“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果.例6.[2016届山东省乐陵市一中上学期期中考试】若不等式2x-l＞m（x2-l）的所有-2552都成立,则'兀的取值范围・四.数形结合若所给不等式进行合理的变形化为/（x）＞g（x）（或f（x）＜g（x））后，能非常容易地画出不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结杲.尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便.、快捷.例7.求证：/（x）=,对于

12、xw[g+1,q+2]恒有—2S/（x）S—?成立.a-x2五.消元转化法例&己知/（兀）是定义在[—1,1]上的奇函数，且/（1）=1,若加,〃[-1,1],加+心0时"〃）+/（〃）＞0,若m+nf（x）＜r-2at+1对于所有的XG[-1,1],[-1,1]恒成立，求实数t的取值范围.【反思提•升】上述例子剖析了数学高考中恒成立问题的常见题型及解法，解决这类题目要看