2018年高考数学（理）二轮复习讲练测专题2.4函数不等式恒成立问题（讲）含解析

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1、2018年高考数学（理）二轮复习讲练测热点四函数、不等式中恒成立问题纵观近几年高考对于函数、不等式中恒成立问题的考查，重点是涉及到一次函数、二次函数的性质、不等式的性质及应用，图象渗透和换元、化归、数形结合、函数与方程、分类讨论、转化等数学思想方法.往往与导数相结合，在处理复杂问题时转化成为“恒成立问题”.解答这类题目应首先克服畏惧心理，通过总结高中阶段出现的这类问题的类型，形成完整的知识、方法体系，提高应对能力.一.函数性质法1.一次函数若内恒有,则根据函数的图像可得可合并成,同理若内恒有则有例1对于满足的所有实数,求使不等式恒成立的的取值范围.【答案】或.【解析】在

2、不等式中出现了两个变量：、,并且是给出了的范围要求的相应范围，直接从的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把看作自变量，看成参变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于的一次函数函数值大于0恒成立求参变量的范围的问题.解：原不等式可化为,令,则原问题等价于在上恒成立，故有：oy2-2xy-22x方法一：或∴或.方法二：即解得：∴或.2.二次函数——利用判别式、韦达定理及根的分布求解有以下几种基本类型：类型1：设（1）上恒成立；（2）上恒成立．类型2：设（1）当时，上恒成立上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立例2【2018届内蒙古包钢第一中学高三上第一次月考】若不等

3、式对一切实数恒成立,则关于的不等式的解集为A.B.C.D.【答案】B【解析】对一切实数恒成立,所以,所以0

4、数法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式（，为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤：（1）将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式；（2）求在上的最大（或最小）值；（3）解不等式(或)，得的取值范围．适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出．例4【2018届高三数学训练】若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值为(　　)A.0B.－2C.－D.－3【答案】C【解析】因为x∈，且x2＋ax＋1≥0，所以a≥－，所以a≥－.又y＝x＋在内是

5、单调递减的，所以a≥－＝－(＋)＝－故选：C.例5【2018届上海市长宁、嘉定区高三一模】若不等式对任意满足的实数，恒成立，则实数的最大值为__________．【答案】【解析】∵不等式x2−2y2⩽cx(y−x)对任意满足x>y>0的实数x、y恒成立，∴，令=t>1，∴，，当时,f′(t)>0,函数f(t)单调递增;当时,f′(t)<0,函数f(t)单调递减。∴当时,f(t)取得最小值,.∴实数c的最大值为.三．主参换位——反客为主法某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度“反客为

6、主”，即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下，变个视角重新审查恒成立问题，往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化，起到“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果．例6【2018届高三数学训练】对于0≤m≤4的任意m，不等式x2＋mx>4x＋m－3恒成立，则x的取值范围是________________．【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞)四．数形结合若所给不等式进行合理的变形化为（或）后，能非常容易地画出不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．例7．求证：，对于恒有成立.【答案】.【解析】

7、原方程可化为，由图像可知，，函数单调递增，故得证.五．消元转化法例8．已知是定义在上的奇函数，且，若，若对于所有的恒成立，求实数t的取值范围．【答案】【解析】本题不等式中有三个变量，可以消元转换的策略，先消去一个变量，易得是定义在上的增函数，所以在[-1，1]上最大值是，问题可转化为对于所有的恒成立，把问题的到转化.六．应用导数研究恒成立问题通过导数证明不等式或研究不等式恒成立问题的基本思路是：以导函数和不等式为基础，单调性为主线，最（极）值为助手，利用转化与化归思想，从数形结合、分类讨论等多视角进行探究，经常是把不等式问题转化为判断函数