2018年高考数学（文）二轮复习讲练测专题2.4 函数、不等式中恒成立问题（讲） 含解析

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1、2018年高考数学（文）二轮复习讲练测纵观近几年高考对于函数、不等式中恒成立问题的考查，重点是涉及到一次函数、二次函数的性质、不等式的性质及应用，图象渗透和换元、化归、数形结合、函数与方程、分类讨论、转化等数学思想方法.往往与导数相结合，在处理复杂问题时转化成为“恒成立问题”.解答这类题目应首先克服畏惧心理，通过总结高中阶段出现的这类问题的类型，形成完整的知识、方法体系，提高应对能力.一.函数性质法1.一次函数若内恒有,则根据函数的图像可得可合并成,同理若内恒有则有例1对于满足的所有实数,求使不等式恒成立的的取值范围.【答案】或.oy2-2xy-22x2.二次函数——利用判别式、韦达

2、定理及根的分布求解有以下几种基本类型：类型1：设（1）上恒成立；（2）上恒成立．类型2：设（1）当时，上恒成立上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立例2【2018届内蒙古包钢第一中学高三上第一次月考】若不等式对一切实数恒成立,则关于的不等式的解集为A.B.C.D.【答案】B【解析】对一切实数恒成立,所以,所以0

3、）若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围。【答案】（1）[－4,﹢∞)；（2）.【解析】试题分析：二．分离参数法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式（，为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤：（1）将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式；（2）求在上的最大（或最小）值；（3）解不等式(或)，得的取值范围．适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出．例4【2018届高三数学训练】若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值为(　　)A.0B.－2C.

4、－D.－3【答案】C【解析】因为x∈，且x2＋ax＋1≥0，所以a≥－，所以a≥－.又y＝x＋在内是单调递减的，所以a≥－＝－(＋)＝－故选：C.例5【2018届上海市长宁、嘉定区高三一模】若不等式对任意满足的实数，恒成立，则实数的最大值为__________．【答案】三．主参换位——反客为主法某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度“反客为主”，即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下，变个视角重新审查恒成立问题，往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化，起到“山穷水尽疑无路，柳暗花明

5、又一村”的出奇制胜的效果．例6【2018届高三数学训练】对于0≤m≤4的任意m，不等式x2＋mx>4x＋m－3恒成立，则x的取值范围是________________．【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞)四．数形结合若所给不等式进行合理的变形化为（或）后，能非常容易地画出不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．例7．求证：，对于恒有成立.【答案】.【解析】原方程可化为，由图像可知，，函数单调递增，故得证.五．消元转化法例8．已知是定义在上的奇函数，且，若，若对于所有的恒成立，求实数t的取值范围．【答案】六．应用导数研究恒成立

6、问题通过导数证明不等式或研究不等式恒成立问题的基本思路是：以导函数和不等式为基础，单调性为主线，最（极）值为助手，利用转化与化归思想，从数形结合、分类讨论等多视角进行探究，经常是把不等式问题转化为判断函数的单调性、求函数的最值，利用最值得出相应结论，其中分类讨论是经常用到的数学思想方法．例9【2018届皖江名校高三12月份大联考】已知函数（其中）在点处的切线斜率为1.（1）用表示；（2）设，若对定义域内的恒成立，求实数的取值范围；（3）在（2）的前提下，如果，证明：.【答案】（1）；（2）；（III）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由题意即得；（2）在定义域上恒成立，即，由恒成立

7、，得，再证当时，即可；（3）由（2）知，且在单调递减；在单调递增，当时，不妨设，要证明，等价于，需要证明，令，可证得在上单调递增，即可证得.对恒成立，令，则。这里先证明，记，则，易得在上单调递增，在上单调递减，，所以。因此，，且时，所以，实数的取值范围是。（3）由（2）知，且在单调递减；在单调递增，当时，不妨设，要证明，等价于，只需要证明，这里，【反思提升】上述例子剖析了数学高考中恒成立问题的常见题型及解法，解决这类题目要看清式子的特征，选择合适的方法，以