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《专题2.4 函数、不等式恒成立问题（讲）-2016年高考数学（文）二轮复习讲练测（解析版）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、热点四函数、不等式中恒成立问题纵观近几年高考对于函数、不等式中恒成立问题的考查，重点是涉及到一次函数、二次函数的性质、不等式的性质及应用,图象渗透和换元、化归、数形结合、函数与方程、分类讨论,转化等数学思想方法。有的学生看到就头疼的题目.分析原因除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.一.函数性质法1.一次函数若内恒有,则根据函数的图像可得可合并成,同理若内恒有则有例1【2016届山东省乐陵市一中上学期期中考试】若不等式的所有都成立，则的取
2、值范围__________.思路分析：本题可以把视为主变元，将原不等式化为：令，再由题意得，即可得答案.9汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！点评：本题看似简单，但用到的知识点不少，如果选择方法不对，会费很多周折.2.二次函数——利用判别式、韦达定理及根的分布求解有以下几种基本类型：类型1：设（1）上恒成立；（2）上恒成立．类型2：设（1）当时，上恒成立上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立例2【2016届河北省冀州市中学高三上学期期中考试】已知函数，，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．思路分析：由题意，通过求导求出的最小值
3、，然后求出的最大值，此时需要根据二次函数在区间上的最小值的讨论方法：①当时，②当时，③时，．从而求出的取值范围.9汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！【解析】点评：本题主要考查利用导数求最值及二次函数在闭区间上的最值，属于难题．二次函数在区间上的最小值的讨论方法：①当时，②当时，③时，．本题讨论的最小值时就是按这种思路进行的．3.其它函数：恒成立（注：若的最小值不存在，则恒成立的下界大于0）；恒成立（注：若的最大值不存在，则恒成立的上界小于0）．例3【浙江省效实中学2015届高三上学期期中考试数学试题】已知函数满足,其中,且.[来源:学科网ZXX
4、K]（1）求函数的解析式，并判断其奇偶性；9汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！（2）当时,的值恒为负数,求实数的取值范围思路分析：（1）判断函数奇偶性的方法：1、先求出函数定义域若关于原点对称,则进行第二步；若不关于原点对称则为非奇非偶函数2、再判断与的关系，如果相等则是偶函数，如若互为相反数，则是奇函数，若不能确定则为非奇非偶函数(2)对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：1），2）【解析】点评：函数的奇偶性单调性及恒成立问题.[来源:学§科§网]二．分离参数法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数
5、的最值，进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式（，为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤：（1）将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式；[来源:学科网]（2）求在上的最大（或最小）值；（3）解不等式(或)，得的取值范围．适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出．例4【2016江西省吉安市一中高三第二次质检】已知在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为A．B．C．(12,30]D．(-12,15][来源:学_科_网]思路分析：由于表示点与点连线的斜率，故函数图象上9汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！
6、在区间内任意两点连线的斜率大于1，故有在内恒成立，即在内恒成立，由此求得的取值范围．【解析】点评：本题考查斜率公式的应用，函数的恒成立问题，以及利用函数的单调性求函数的最值，属于压轴题，例5．已知函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于x∈R，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜5－m恒成立，求实数m的取值范围．思路分析：(1)对于含二次项恒成立的问题，注意讨论二次项系数是否为0，这是学生容易漏掉的地方.（2）恒成立问题一般需转化为最值，利用单调性证明在闭区间的单调性.(3)一元二次不等式在上恒成立，看开口方向
7、和判别式.(4)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是分离参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.【解析】(1)由题意可得m＝0或⇔m＝0或－4＜m＜0⇔－4＜m≤0.故m的取值范围为(－4,0]．(2)∵f(x)＜－m＋5⇔m(x2－x＋1)＜6，∵x2－x＋1＞0，∴m＜对于x∈[1,3]恒成立，9汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！记g(x)＝，x∈[1,3]，记h(x)＝x2－x＋1，h(x)在x∈[1,3]上为增函数．则g(x)在[1,3]上为减函数，∴[g(x
8、)]min＝g(3)＝，∴m＜.所以m的取值范围为.点评：注意分离
