专题2.4 函数、不等式恒成立问题（练）-2016年高考数学（文）二轮复习讲练测（解析版）

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1、2016高三二轮复习之讲练测之练案【新课标版文科数学】热点四函数、不等式中恒成立问题1.练高考1.【2015高考福建，文15】若函数满足，且在单调递增，则实数的最小值等于_______．【答案】【解析】由得函数关于对称，故，则，由复合函数单调性得在递增，故，所以实数的最小值等于．2.【2015高考福建，文22】已知函数．(Ⅰ)求函数的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当时，；（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）．【解析】15汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！当时，，所以在上单调递减，故

2、当时，，即当时，．3.【2015高考广东，文21】（本小题满分14分）设为实数，函数．（1）若，求的取值范围；（2）讨论的单调性；（3）当时，讨论在区间内的零点个数．【答案】（1）；（2）在上单调递增，在上单调递减；（3）当时，有一个零点；当时，有两个零点．【解析】试题分析：（1）先由可得，再对的取值范围进行讨论可得的解，进而可得15汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！的取值范围；（2）先写函数的解析式，再对的取值范围进行讨论确定函数的单调性；（3）先由（2）得函数的最小值，再对的取值范围进行讨论确定在区间内的零点个数．试题解析：（

3、1），因为，所以，当时，，显然成立；当，则有，所以.所以.[来源:学科网ZXXK]综上所述，的取值范围是.（3）由（2）得在上单调递增，在上单调递减，所以.(i)当时，，令，即（）.因为在上单调递减，所以而在上单调递增，，所以与在无交点.当时，，即，所以，所以，因为，所以，即当时，有一个零点.(ii)当时，，当时，，，而在上单调递增，15汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！当时，.下面比较与的大小因为所以结合图象不难得当时，与有两个交点.综上所述，当时，有一个零点；当时，有两个零点.学科网4.【2015高考四川，文21】已知函数f(

4、x)＝－2lnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0.(Ⅰ)设g(x)为f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(Ⅱ)证明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解.【解析】15汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！由u'(x)＝1－≥0知，函数u(x)在区间(1，＋∞)上单调递增故0＝u(1)＜a0＝u(x0)＜u(e)＝e－2＜1即a0∈(0，1)当a＝a0时，有f'(x0)＝0，f(x0)＝Φ(x0)＝0再由(Ⅰ)知，f'(x)在区间(1，＋∞)上单调递增当x∈(1，x0)时，f'(x)

5、＜0，从而f(x)＞f(x0)＝0当x∈(x0，＋∞)时，f'(x)＞0，从而f(x)＞f(x0)＝0又当x∈(0，1]时，f(x)＝(x－a0)2－2xlnx＞0[来源:学+科+网Z+X+X+K]故x∈(0，＋∞)时，f(x)≥0综上所述，存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解.学科网5.【2015高考浙江，文20】（本题满分15分）设函数.（1）当时，求函数在上的最小值的表达式；（2）已知函数在上存在零点，，求的取值范围.【答案】(1)；(2)【解析】15汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一

6、样的教育！当时，.综上，2.练模拟1.【2016届安徽省合肥一中等六校高三第二次联考数学】已知函数，若存在，使得成立，则实数的值为（）A．B．C．D．[来源:Zxxk.Com]【答案】D【解析】试题分析：函数等价于图像上的点与直线上的点15汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！的距离的平方设，则令，即，解得到直线的距离为即上的点与上的点最短距离为，此时，即因为存在，使得成立所以即，解得故答案选.学科网2.【天津市六校2015届高三联考数学试题】已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A15汇聚

7、名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！3．【2016届河北省冀州市中学高三上学期一轮复习一】已知函数，，设为实数，若存在实数，使，则实数的取值范围为（）A、B、C、D、【答案】B【解析】4.【2016届浙江省余姚中学高三上学期期中考试】已知函数，设函数在区间上的最大值为．（1）若，试求出；15汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！（2）若对任意的，恒成立，试求出的最大值．【答案】（1）；（2）的最大值．【解析】5.【2016届吉林省长春外国语学校高三上第二次质检】已知函数，．（1）求函数图像在处的切线方程；（2）证明：；（3）若不

8、等式对于任意的均成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．【解析】15汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！试题分析：得切线，即（2