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《中考数学复习指导：抛物线背景下特殊三角形存在性问题的解题策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、抛物线背景下特殊三角形存在性问题的解题策略动态问题是近几年来中考数学的热点题型，常与存在性问题结合，这类问题综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，解题时要特别关注运动和变化过程屮的不变量、不变关系和特殊关系.本文以屮考题为例，对二次函数背景下，一些特殊三角形存在性问题的解题策略进行探究.一、探究等腰三角形的存在性例1如图1,已知抛物线y=ax?+bx+c经过A(—1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线/是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线/上的一个动点，当APAC的
2、周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线/上是否存在点M,使AMAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.解(1)易得y=—x?+2x—3；(2)分析由图知，A,B两点关于抛物线的对称轴对称，那么根据对称性以及两点之间线段最短可知，若连结BC,那么BC与直线/的交点即为符合条件的P点.易求得BC的函数关系式为y=—x+3,当x=l时，y=2,所以P(l,2)；(3)抛物线的对称轴为必=1,故可设M(1,皿).已知A(-1,O),C(O,3),则MA2二赤+4,MC2=ttc-6
3、m+10,AC2=10.①若M4=MC,则=MC2,即m2+4=th2-6m+10,得m二1；②若MA二4C,则MA2=AC2f即+4=10,得m=±尿；③若AC=MC,则MC?=MC即rn-6m+10=10,得m=0或6.当m二6时,M,4,C三点共线，不能构成三角形，舍去•综上所述，符合条件的M点坐标为：(1,1)(1,0),(1,-広)，(1,0)评注例1(3)屮，由于AMAC的腰和底不明确，因此要分上述三种情况来讨论.可先设出M的坐标，然后用M点纵坐标表示AMAC的三边长，再分别按三种情况列式求解.同学们
4、可根据上述解题思路分析解决下题：如图2,在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上.O为原点，点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,8).动点M从点O出发.沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒丿个单3位的速度运动.当一个动点到达终点吋，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒(t>0).(1)当t=3秒时，直接写出点IV的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式;(2)在此运动的过程中，AMNA的面积是否存在最大值？若存在，
5、请求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)当t为何值吋，AMNA是一个等腰三角形?y二、探究直角三角形的存在性例2如图3,已知抛物线y=x?+bx+c与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，与y轴交于点C(0,-3),对称轴是直线x=l,直线BC与抛物线的对称轴交于点D.(1)求抛物线的函数表达式；(2)求直线BC的函数表达式；⑶点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F,交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限.①当线段PQ=-AB时，求tanZCED的值；4②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请
6、直接写出点P的坐标.图3解(1)易得y=%2-2x-3>(2)易得期-1,0),8(3,0),故直线BC的函数表达式为y=x-3.(3)①丫AB=4.PQ=PQ=3.•・・P,Q关于直线％=1对称，・・•点P的横坐标为"(■仝V)，F(O,V),75FC=OC-OF=3-=g,44EC=2FC二+进而得到0E=0C-EC=y,咆詁)，直线BC与抛物线的对称轴丫=1的交点。的坐标为(1,-2).过点。作DH丄y轴于点H,在RtAEDH中，..3DH=,EH=OH-0E=y,tan乙CED=②点E为y轴上一动点，・•
7、•设E的坐标为(0,/).又C(0,-3),£)(1,-2),则由勾股定理，得CD=J2.CE=1£+31,DE=J+Q+2)'・以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，(i)点C为直角顶点，则CD2+CE2=DE2,即(他)2+(£+3)2=(J+(t+2)2)2.解得£=-3,此时C与E重合，不合题意，舍去；(ii)点。为直角顶点，CD2+DE2=CE2,即(Q)2+(J+(,+2)2)2=(£+3)2,解得“-1,'此时CE的垂直平分线为y=-2,由卩八2^解得ly=x-2%-3x=/2+1,R=1
8、—•y=-2；ly=-2.•・•点P在第三象限，.・.P(1-2)；(i)点E为直角顶点，DE2+CE2=CD2,即(/+(t+2)2)2+Q+3)2=(Q)2,解得/=-2或-3(舍).当£=-2时,CE的垂直平分线为y=•・•点P在第三象限,.・.P(i一农，_A).综上所述，R(1-厲,-2),P2(i-y).评注例2(3)②中直角三角形的存在性问题有
