中考数学压轴题解题策略直角三角形的存在性问题解题策略.docx

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1、中考数学压轴题解题策略（3）直角三角形的存在性问题解题策略《挑战压轴题·中考数学》的作者上海马学斌专题攻略解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．

2、在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到．怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）．例题解析例❶如图1-1，在△ABC中，AB＝AC＝10，cos∠B＝．D、E为线段BC上的两个动点，且DE＝3（E在D右边），运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止．过E作EF//AC交AB于F，连结DF．设BD＝x，如果△BDF为直角三角形，求x的值．图1-1【解析】△BDF中，∠B是

3、确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况．如果把夹∠B的两条边用含有x的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了．如图1-2，作AH⊥BC，垂足为H，那么H是BC的中点．在Rt△ABH中，AB＝10，cos∠B＝，所以BH＝8．所以BC＝16．由EF//AC，得，即．所以BF＝．图1-2图1-3图1-4①如图1-3，当∠BDF＝90°时，由，得．解方程，得x＝3．②如图1-4，当∠BFD＝90°时，由，得．解方程，得．我们看到，在画示意图时，无须受到△ABC的“限制”，只需要取其确定

4、的∠B．例❷如图2-1，已知A、B是线段MN上的两点，，，．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设AB＝x，若△ABC为直角三角形，求x的值．图2-1【解析】△ABC的三边长都可以表示出来，AC＝1，AB＝x，BC＝3－x．如果用斜边进行分类，每条边都可能成为斜边，分三种情况：①若AC为斜边，则，即，此方程无实根．②若AB为斜边，则，解得（如图2-2）．③若BC为斜边，则，解得（如图2-3）．因此当或时，△ABC是直角三角形．图2-2图2-3例❸如

5、图3-1，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2,0），点B是点A关于原点的对称点，P是函数图象上的一点，且△ABP是直角三角形，求点P的坐标．图3-1【解析】A、B两点是确定的，以线段AB为分类标准，分三种情况．如果线段AB为直角边，那么过点A画AB的垂线，与第一象限内的一支双曲线没有交点；过点B画AB的垂线，有1个交点．以AB为直径画圆，圆与双曲线有没有交点呢？先假如有交点，再列方程，方程有解那么就有交点．如果是一元二次方程，那么可能是一个交点，也可能是两个交点．由题意，得点B的坐标为（2，0）

6、，且∠BAP不可能成为直角．①如图3-2，当∠ABP＝90°时，点P的坐标为（2，1）．②方法一：如图3-3，当∠APB＝90°时，OP是Rt△APB的斜边上的中线，OP＝2．设P，由OP2＝4，得．解得．此时P(,)．图3-2图3-3方法二：由勾股定理，得PA2＋PB2＝AB2．解方程，得．方法三：如图3-4，由△AHP∽△PHB，得PH2＝AH·BH．解方程，得．图3-4图3-5这三种解法的方程貌似差异很大，转化为整式方程之后都是(x2－2)2＝0．这个四次方程的解是x1＝x2＝，x3＝x4＝，它的

7、几何意义就是以AB为直径的圆与双曲线相切于P、P′两点（如图3-5）．例❹如图4-1，已知直线y＝kx－6经过点A(1,－4)，与x轴相交于点B．若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．图4-1【解析】和例题3一样，过A、B两点分别画AB的垂线，各有1个点Q．和例题3不同，以AB为直径画圆，圆与y轴有没有交点，一目了然．而圆与双曲线有没有交点，是徒手画双曲线无法肯定的．将A(1,－4)代入y＝kx－6，可得k＝2．所以y＝2x－6，B(3,0)．设OQ的长为m．分三种情况讨论直角三角形

8、ABQ：①如图4-2，当∠AQB＝90°时，△BOQ∽△QHA，．所以．解得m＝1或m＝3．所以Q(0,－1)或(0,－3)．②如图4-3，当∠BAQ＝90°时，△QHA∽△AGB，．所以．解得．此时．③如图4-4，当∠ABQ＝90°时，△AGB∽△BMQ，．所以．解得．此时．图4-2图4-3图4-4三种情况的直角三角形ABQ，直角边都不与坐标轴平行，我们以直角顶点为公共顶点，构造两个相似的直角三角形，这样列比例方程比较简便．已知A(1,－