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《中考数学压轴题解题策略(3)直角三角形的存在性问题解题策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、中考数学压轴题解题策略（3）直角三角形的存在性问题解题策略《挑战压轴题•屮考数学》的作者上海马学斌专题攻略解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根.一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程.冇时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便.解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起.如果肓角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的肓线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便.在平面直角坐标
2、系中，两点间的距离公式常常用到.怎样価直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直介边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为肓径画圆，直角顶点在圆上（不含肓径的两个端点）.例题解析4例如图1・1,在ZkABC中,AB=AC=W,cosZ3=—.D、E为线段3C上的两个动点，且DE=3（E在D右边）,运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止.过E作EF//AC交43于F,连结DF.设3£>=兀，如果△3DF为肓和三如形，求x的值.图1-1【解析】△BDF中，ZB是确定的锐角，那么按照总角
3、顶点分类，岂角三角形BDF存在两种情况.如果把夹ZB的两条边用含有兀的式子表示出來，分两种情况列方程就可以了.如图1・2,作丄BC,垂足为H,那么H是BC的中点.4在RX/XABH中，AB=10,cosZ3=—，所以BH=&所以BC=16・图1-2图1-3图1-4由EF//AC,毎BD44①如图1・3,当ZBDF=90°时，由cosZB=—=-,得BD二一BF・BF554s解方程x=—x—(x+3),得x=3.58RF44②如图14当ZBFD=90°时，由cosZB=——=一，得BF=-BD.BD55^U-X+—=-
4、X,^x=—・8857我们看到，在画示意图时，无须受到AABC的“限制”，只盂要取其确定的例如图2・1,已知A、3是线段MN上的两点，MN=4,MA=1,MB>1・以A为屮心顺时针旋转点M,以3为屮心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设AB=xf若△ABC为直角三角形，求x的值.【解析】'ABC的三边长都可以表示出来,AC=1,AB=xfBC=3-x.如果用斜边进行分类，每条边都可能成为斜边，分三种情况：①若AC为斜边，贝lJl=x2+(3-x)2,即兀2_3兀+4=0,此方程无实根.②若AB为
5、斜边，贝【Jx2=(3-x)2+1,解得兀=仝(如图2・2)・34③若BC为斜边，则(37)2=1+兀2,解得"一(如图2・3).如图3・1,已知在平面直角坐标系中,图2-3例点A的坐标为(-2,0),点B是点A关于原【解析】A、B两点是确定的，以线段AB为分类标准，分三种悄况.如果线段AB为直角边，那么过点A画的垂线，与第一象限内的一支双III【线没有交点；过点B画AB的垂线，有1个交点.以A3为直径画圆，圆与双曲线有没有交点呢？先假如有交点，再列方程，方程有解那么就有交点.如果是一元二次方程，那么可能是一个交点，
6、也可能是两个交点.山题意，得点B的处标为（2,0）,LZBAP不可能成为直角.①如图3・2,当ZABP=90。时，点P的坐标为（2,1）.②方法一：如图3・3,当ZAPB=90°时，OP是RtAAPB的斜边上的中线，OP=2・24设P（X,—）,由O护=4,得X2+—=4.解得x=±V2.此吋F（V2,72）.方法二山勾股定理，得PA2+PB2=AB2.解方程（x+2）2+（-）2+（兀+2）2+（-）2=42,得兀=±血・XX方法三：如图3・4,由得PH2=AH・BH.2解方程（一）2=（兀+2）（兀一2）,W-
7、X=±V2.这三种解法的方程貌似差异很人，转化为整式方程之示部是（J—2f=0・这个四次方程的解是x=X2=Qxe=-近，它的几何意义就是以A3为直径的圆与双曲线相切于P、P两点（如图3・5）・例如图4・1,已知直线y=kx~6经过点4（1,—4）,与x轴相交于点B.若点0是y轴上一点，且△ABQ为肓角三角形，求点Q的坐标.【解析】和例题3—样，过A、B两点分别画AB的垂线，各有1个点0和例题3不同，以AB为直径画圆，圆与y轴有没有交点，一目了然.而圆与双曲线有没有交点，是徒手画双曲线无法肯定的.将4(1,-4)代
8、入y=fcc_6,可得片2.所以y=2x~6,3(3,0).设OQ的长为m.分三种情况讨论直角三角形AB0①如图4・2,当ZAQB=90Q时，△BOQS/X0M,解得加=1或m=3.所以2(0,—1)或(0,—3).②如图4・3,当ZBAQ=90。时，QHRsLAGB、77解得也二一・此时0(0,—一).③如图44当ZABQ=90Q时，ZVl
