上海市中考数学压轴题解题策略：相切的存在性问题.doc

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1、中考数学压轴题解题策略相切的存在性问题解题策略专题攻略一、圆与圆的位置关系问题，一般无法先画出比较准确的图形．解这类问题，一般分三步走，第一步先罗列三要素：R、r、d，第二步分类列方程，第三步解方程并验根．第一步在罗列三要素R、r、d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示．第二步分类列方程，就是指外切与内切两种情况．二、直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形．解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素：R和d，第二步列方程，第三步解方程并验根．第一步在罗列两要素R

2、和d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示．第二步列方程，就是根据直线与圆相切时d＝R列方程．例题解析例❶如图1-1，已知抛物线y＝x2－1与x轴相交于A、B两点．（1）有一半径为r的⊙P，且圆心P在抛物线上运动，当⊙P与两坐标轴都相切时，求半径r的值；（2）半径为1的⊙P在抛物线上，当点P的纵坐标在什么范围内取值时，⊙P与y轴相离、相交？图1-1【解析】（1）如果⊙P与两坐标轴都相切，那么圆心P到两坐标轴的距离相等．画直线y＝x和y＝－x，四个圆心P就都找到了，如图1-2，图1-3

3、．其实求半径r，只需一个图就可以了，⊙P的半径为r＝

4、x

5、＝或．（2）要判断⊙P与y轴相离、相交，先找到临界位置⊙P与y轴相切，此时x＝1或x＝－1．如图1-4，可以想象，当圆心P在x轴下方时，⊙P与y轴相交，此时－1≤yP＜0；当圆心P在x轴上方时，⊙P与y轴相离，此时yP＞0．图1-2图1-3图1-4例❷如图2-1，△ABC中，BC＝AC＝5，AB＝8，CD为AB边上的高．如图2-1，A在原点处，点B在y轴的正半轴上，点C在第一象限．若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑

6、，并带动△ABC在平面上滑动．如图2-2，设运动的时间为t秒，当B到达原点时停止运动．当以点C为圆心、CA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值．图2-1图2-2【解析】这道题讲一下画图策略，答案就在图形中．（1）如图2-3，画x轴，取点A；作CA⊥x轴，且CA＝5；以CA为半径画⊙C，以A为圆心，8为半径画弧，产生点B．如图2-4，过点B画y轴．在Rt△AOB中，已知AB和∠1，求得OA＝t＝4.8．（2）如图2-5，先画y轴和点B，产生点A后再画x轴．求得OA＝t＝6.4．图2-3图2-4图2-5例❸如图3-1

7、，A(－5,0)，B(－3,0)，C(0,3)，四边形OADC是矩形．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，以PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求运动时间t的值．图3-1【解析】我们先根据“d＝r”讲解题策略．如图3-2，动点P到切线BC的所有垂线段中，哪条等于半径PC？此时P(3,0)，t＝1．如图3-3，动点P到切线DC的所有垂线段中，半径PC是哪条？此时P(0,0)，t＝4．如图3-4，动点P到切线AD的距离就是PA，PA与半

8、径PC相等，点P在AC的垂直平分线上，此时在Rt△PCO中，由勾股定理解得AP＝3.6，所以QP＝5.4，t＝5.4.图3-2图3-3图3-4我们再灵活应用“圆的切线垂直于经过切点的半径”画图，答案就在图形中．如图3-5，经过切点C画切线BC的垂线，与x轴的交点就是P(3,0)．如图3-6，经过切点C画切线DC的垂线，与x轴的交点就是P(0,0)．如图3-7，已知圆上两点A和C，画AC的垂直平分线，与x轴的交点就是P．图3-5图3-6图3-7例❹如图4-1，已知抛物线y＝mx2＋bx＋c(m＞0)经过A(1,0

9、)、B(－3,0)两点，顶点为P，与y轴交于点D．⊙C的直径为A、B，当m为何值时，直线PD与⊙C相切？图4-1【解析】由y＝m(x－1)(x＋3)，可得D(0,－3m)，P(－1,－4m)．⊙C的半径为2，切线PD随m变化．如图4-2，先假设切点为E，那么∠CPE＝∠PDF．由sin∠CPE＝sin∠PDF，得．解方程，得．所以当时，直线PD与⊙C相切．事实上，此时直线PD与⊙C相切于点D，∠PCD＝30°（如图4-3）．图4-2图4-3例❺如图5-1，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝8

10、，BC＝18，，点P从点B开始沿BC边向终点C以每秒3个单位的速度移动，点Q从点D开始沿DA边向终点A以每秒2个单位的速度移动，设运动时间为秒．如果⊙P的半径为6，⊙Q的半径为4，在移动的过程中，试探索：为何值时⊙P与⊙Q外离、外切、相交？图5-1【解析】对于⊙P，R＝6；对于⊙Q，r＝4．圆心距d＝PQ怎么表示呢？如图5-2，PQ2＝QH2＋PH2＝82＋(12－5t)2．当两圆外切