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时间:2021-03-23
《上海市中考数学压轴题解题策略:相切的存在性问题.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、中考数学压轴题解题策略相切的存在性问题解题策略专题攻略一、圆与圆的位置关系问题,一般无法先画出比较准确的图形.解这类问题,一般分三步走,第一步先罗列三要素:R、r、d,第二步分类列方程,第三步解方程并验根.第一步在罗列三要素R、r、d的过程中,确定的要素罗列出来以后,不确定的要素要用含有x的式子表示.第二步分类列方程,就是指外切与内切两种情况.二、直线与圆的位置关系问题,一般也无法先画出比较准确的图形.解这类问题,一般也分三步走,第一步先罗列两要素:R和d,第二步列方程,第三步解方程并验根.第一步在罗列两要素R
2、和d的过程中,确定的要素罗列出来以后,不确定的要素要用含有x的式子表示.第二步列方程,就是根据直线与圆相切时d=R列方程.例题解析例❶如图1-1,已知抛物线y=x2-1与x轴相交于A、B两点.(1)有一半径为r的⊙P,且圆心P在抛物线上运动,当⊙P与两坐标轴都相切时,求半径r的值;(2)半径为1的⊙P在抛物线上,当点P的纵坐标在什么范围内取值时,⊙P与y轴相离、相交?图1-1【解析】(1)如果⊙P与两坐标轴都相切,那么圆心P到两坐标轴的距离相等.画直线y=x和y=-x,四个圆心P就都找到了,如图1-2,图1-3
3、.其实求半径r,只需一个图就可以了,⊙P的半径为r=
4、x
5、=或.(2)要判断⊙P与y轴相离、相交,先找到临界位置⊙P与y轴相切,此时x=1或x=-1.如图1-4,可以想象,当圆心P在x轴下方时,⊙P与y轴相交,此时-1≤yP<0;当圆心P在x轴上方时,⊙P与y轴相离,此时yP>0.图1-2图1-3图1-4例❷如图2-1,△ABC中,BC=AC=5,AB=8,CD为AB边上的高.如图2-1,A在原点处,点B在y轴的正半轴上,点C在第一象限.若A从原点出发,沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动,则点B随之沿y轴下滑
6、,并带动△ABC在平面上滑动.如图2-2,设运动的时间为t秒,当B到达原点时停止运动.当以点C为圆心、CA为半径的圆与坐标轴相切时,求t的值.图2-1图2-2【解析】这道题讲一下画图策略,答案就在图形中.(1)如图2-3,画x轴,取点A;作CA⊥x轴,且CA=5;以CA为半径画⊙C,以A为圆心,8为半径画弧,产生点B.如图2-4,过点B画y轴.在Rt△AOB中,已知AB和∠1,求得OA=t=4.8.(2)如图2-5,先画y轴和点B,产生点A后再画x轴.求得OA=t=6.4.图2-3图2-4图2-5例❸如图3-1
7、,A(-5,0),B(-3,0),C(0,3),四边形OADC是矩形.点P从点Q(4,0)出发,沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动,以PC为半径的⊙P随点P的运动而变化,当⊙P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时,求运动时间t的值.图3-1【解析】我们先根据“d=r”讲解题策略.如图3-2,动点P到切线BC的所有垂线段中,哪条等于半径PC?此时P(3,0),t=1.如图3-3,动点P到切线DC的所有垂线段中,半径PC是哪条?此时P(0,0),t=4.如图3-4,动点P到切线AD的距离就是PA,PA与半
8、径PC相等,点P在AC的垂直平分线上,此时在Rt△PCO中,由勾股定理解得AP=3.6,所以QP=5.4,t=5.4.图3-2图3-3图3-4我们再灵活应用“圆的切线垂直于经过切点的半径”画图,答案就在图形中.如图3-5,经过切点C画切线BC的垂线,与x轴的交点就是P(3,0).如图3-6,经过切点C画切线DC的垂线,与x轴的交点就是P(0,0).如图3-7,已知圆上两点A和C,画AC的垂直平分线,与x轴的交点就是P.图3-5图3-6图3-7例❹如图4-1,已知抛物线y=mx2+bx+c(m>0)经过A(1,0
9、)、B(-3,0)两点,顶点为P,与y轴交于点D.⊙C的直径为A、B,当m为何值时,直线PD与⊙C相切?图4-1【解析】由y=m(x-1)(x+3),可得D(0,-3m),P(-1,-4m).⊙C的半径为2,切线PD随m变化.如图4-2,先假设切点为E,那么∠CPE=∠PDF.由sin∠CPE=sin∠PDF,得.解方程,得.所以当时,直线PD与⊙C相切.事实上,此时直线PD与⊙C相切于点D,∠PCD=30°(如图4-3).图4-2图4-3例❺如图5-1,在梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=8
10、,BC=18,,点P从点B开始沿BC边向终点C以每秒3个单位的速度移动,点Q从点D开始沿DA边向终点A以每秒2个单位的速度移动,设运动时间为秒.如果⊙P的半径为6,⊙Q的半径为4,在移动的过程中,试探索:为何值时⊙P与⊙Q外离、外切、相交?图5-1【解析】对于⊙P,R=6;对于⊙Q,r=4.圆心距d=PQ怎么表示呢?如图5-2,PQ2=QH2+PH2=82+(12-5t)2.当两圆外切
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