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《中考数学复习指导：例析抛物线中图形的存在性问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、例析抛物线中图形的存在性问题一、存在等腰直角三角形问题例1在平面直角坐标系中，已知抛物线y=—丄x?+bx+c(b,c为常数)的顶点2为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,-1),C的坐标为(4,3),直角顶点B在第四象限.(1)如图1,若该抛物线经过A、B两点，求抛物线的函数表达式；(2)平移(1)中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q.①若点M在直线AC下方，且为平移前(1)中抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；②如图2,取BC的中点N,连结NP,BQ.试探究矗是否
2、存在最大值？若存Pl/c在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由.解析(1)易知，点B坐标为(4,-1),则l-8+46+c=lc=-l.・・•抛物线的函数表达式为y=--~x2+2x-1；(2)设直线人C的解析式为y二也+b,则・••直线4C的解析式为y=x-l.设顶点P的坐标为(m,m-1)，则平移后的抛物线解析式为联立/=%-!,可得点Q坐标为(m一2-3).①当△MPQ是等腰直角三角形时，存在如下三种情况，如图1・(i)当PM=PQ,且LP=90。时,此时,点M的坐标为(zn+2,m-3)・•，・・・点M在抛物线y=-yx2+2一1上,即m+2m-
3、8=0.解得m=2,或-4,・・・M(4,-1)或(-2,-7).(i)当MP=MQ,且乙M=90。时,此时,点M的坐标为(m,m-3)，则m-3=--^-m2+2m-1,即m-2m-4=0.解得m=1+点,或1-6(舍去)，.・.M(1+75,一2+点).或(1_点，_2_点)・(ii)当QM二QP,且Z
4、,—2—>/5)・②TP(m,m-l),Q(m-2-3),・：PQ-丿(m-m+2尸+(m-1-m+3『=2Q,当NP+BQ有最小值时，丽乎丽有最大值.IN是BC的中点，・•・7V(4,1),BN=2为定值，・•・当四边形BNPQ的周长最小时,NP+BQ最小.取点B关于直线AC的对称点刃(0,3),取朋的中点D(2,-1),连结交AC于点Q,过点N作NP//BfD交AC于点P,连结DN,如图2.易证得PQ//DN、PQ=DN,・•・四边形DNPQ是平行四边形，・•・NP=DQ.•••BQ=B'Q,•••NP+BQ二DQ+BQ・.・点B，、Q、D在同一直线上，
5、・•・NP七BQ=有最小值，易得NP+BQ=BfD=7?+42=2点,•••翳岛的最大值为詐=令.点评此题考查了二次函数综合题，考查了待定系数法确定二次函数、一次函数解析式，勾股定理、一元二次次方程、线段和的最小值等知识点.第⑵①题需分类讨论，不可漏解.二、存在平行四边形问题例2如图3,矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，0A=4,0C=3.若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过0、A两点,直线AC交抛物线于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A、D、M
6、、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点IV的坐标；若不存在，请说明理由.解析(1)设抛物线解析式为y=a(z-2尸+3.将£(4,0)坐标代入，得0=4a+3,即a=则抛物线解析式为』a•qy二-—(x-2)2+3=-—%+3x；(2)设直线4C解析式为y=滋0)•将4(4,0)与6(0,3)代入，得,3舄,“解得k—4，b=3,故直线AC解析式为y=-+3.3丄Qy=-—x+3,■••I32丄ay=-—x十3%,{x=1,-9或厂!y=y;Ly=0-・••点D坐标为(l,y);（3）分两种情况考虑：①当点M在尤轴上方时，如图4,四边形ADMN为平行
7、四边形fDM//AN,DM=AN.Q由对称性得到M（3,于），即DM=2,故AN=2,.・.件（2,0）,“2（6,0）；②当点M在％轴下方时，如图5.过点0作0Q丄兀轴于点Q,过点M作MP丄％轴于点P,可得MDQw△他他卩，9/.M3P=DQ=令,N3P=AQ=3.将％二-鲁代入拋物线解析式，得解得知=2一眉、或九=2+力•*.xN=-3=--/7-1,或存-1,.•・他(-存-1,0),他("-1,0)・综上所述,满足条件的点N有四个：M（2,0），M（6,0）,M（-存-1,0）,他（打-1,0）.点评此题考查了二次函数综合题，考查了待定系数法确定抛
8、物线解析式，一次函数与二次函数的交点，平行四边形的性
