中考数学教学指导：解析一类图形关系的存在性问题

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1、解析一类图形关系的存在性问题图形关系的存在性问题也是近年各地中考的一个热点，本文例举历年中考试题中的此类问题进行分类解析，旨在探索解题规律，以期对读者有所启发.一、与相似三角形有关的存在性例1如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点0(0,0)、A(2,0)、B(6,3).(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；(2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点6、A】、C】、B],得到如图2的梯形O]A】B]C],设梯形O]A】B]C]的面积为S,A]、B】的坐标分别

2、为(X1，『])、(兀2，＞'2)-用含S的代数式表示兀2—X],并求出当S=36吋点Ai的坐标；(3)在图1中，设点D坐标为(1,3),动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动.P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动.设P、Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线，AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.图1分析第(2)题用含S的代数式

3、表示£-Xp反其道而行Z,用七，兀2表示s.再由平移过程屮梯形的高不变，即力一)5=3,通过代数变形即可，第(3)题最大的障碍在于分析画图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系.因此，需要先假设，再说理计算，后验证.其不变关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变，变化的是直线PQ的斜率.因此,可以假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方，或假设直线PQ与AB的交点G在兀轴的上方，从而作出相应图形.解(1)对称轴：直线x=l,解析式：y=-x2-丄x,84顶点坐标：M(l,—-)8(2)由题意，

4、得：=亍22(.V

5、一1+心一1)x3—■・p■■■■I•■小_2=3(%]+®)-6,S得：心+心=y+2.②把②代入①并整理得当S=36时,=6,=&把街=6代入抛物线解析式得门・••点仇(6,3)；七-心=S(5>0)(爭实上」>6用・)3,33(3)易知直线AB的解析式为y=-X--,可得直线AB与对称轴的交点E的坐标为(1,X4BD=5,DE=—,4DP=5—t,DQ=t,当PQ〃AE时，DQDPt5-t如15=f=1衍r=—•DEDBd574设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G.下面分两种情况讨论：图3①当

6、0

7、切有关的存在性问题例2如图4,在平面直角坐标系中，点B在直线y=2兀上，过点B作兀轴的垂线,垂足为A,OA=5.若抛物线y=-x2+bx+cii点O、A两点.(1)求该抛物线的解析式；(2)若A点关于直线y=2x的对称点为C,判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；(3)如图5,在(2)的条件下，OO］是以BC为直径的圆.过原点O作O］的切线OP,P为切点(点P与点C不重合),抛物线上是否存在点Q,使得以PQ为直径的圆与点Ch相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由.分析第(3)题根据几何法确定点Q是存在的，就是直线O

8、】P与抛物线的交点，点Q的坐标分别满足直线O

9、P与抛物线的关系式，将点Q的坐标分别代入直线O】P及抛物线的关系式，联立成方程组即可.解⑴把点0(0,0)、A(5,0)的坐标分别代入y=-x2+bx+c得6c=0—+5b+c=06b——解得6.・•・该抛物线的解析式为y=-^--x；(2)如图6,过点C作CD丄兀轴于点D,连结OC,设AC与OB相交于点E•IB(5,6610).图6T点B在直线y=2兀上，又点A、c关于直线y=2%对称，OB丄AC,CE=AE,BC丄OC,OC=OA=5,^C=HA=1().又AB丄％轴，，由勾股定

10、理得OB=5長.•••Sg⑷=•OB=*OA•AB,/.AE=2点，/.AC=4怎、•••^OBA+乙=90%ACAD+ACAB=90%•・•乙CAD=zlOBA.又IACDA=乙OAB=90%/.SCDAsM)AB,.CDADACOA"ABOB'•••CD=4