中考数学专题复习：存在性问题

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1、探究性学习初三数学存在性问题一、课题导入:如图,已知直线y=－4/3x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，D（0，2）是y轴上一点，问在直线AB上是否存在一点C，使得以B、D、C为顶点的三角形与以A、B、O为顶点的三角形相似？OxyBADC1C2分析理解:根据题意可先求出A、B两点的坐标；假设在直线AB上存在符合条件的C点，则有两种相似的可能，可根据题意分类讨论。（1）当△BDC∽△BOA时，可推出DC∥OA，原后可推出C点坐标（2）当△BDC∽△BAO时，可根据题目条件求出C点坐标。注意：如果求出的C点坐标在题目允许的范围内，则说明假设成

2、立，判断为存在,反之则判断为不存在。H．热点考向导引存在性探究问题的一般思路是：先对结论作出肯定的假设，然后由肯定假设出发，结合已知条件或挖掘出隐含条件，辅以方程思想等，进行正确的计算、推理，再对得出的结果进行分析检验，判断是否与题设、公理、定理等吻合．若无矛盾，说明假设正确，由此得出符合条件的数学对象存在；否则，说明不存在．例题1:已知关于x的方程k2x2+(2k－1)x+1=0有两个不相等的实数根x1、x2.(1)求k的取值范围(2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?如果存在,求出k值;如果不存在,请说明理由解:(1)根据题

3、意得△=(2k－1)2－4k2>0解得k<1/4∵k2≠0，∴k≠0∴当k<1/4且k≠0时，方程有两个不相等的实数根(2)不存在实数k值,使方程的两根互为相反数假设存在实数k值,使方程的两根互为相反数,则x1+x2=－2k－１k2=0解得k=1/2,由(1)知k<1/4且k≠0∴不存在实数k值,使方程的两根互为相反数热点例题精讲热点例题精讲:例题2:如图已知直线y=－2x+12分别与y轴、x轴交与A、B两点,点M在y轴上,以点M为圆心的⊙M与直线AB相切于点D,连结MD(1).求证:△AMD∽△AOB(2).如果⊙M的半径为,请求出点M的

4、坐标,并写出以为顶点,且过点M的抛物线的解析式(3).在(2)的条件下,试问在此抛物线上是否存在点P,使得以P、A、M三点为顶点的三角形与△AOB相似？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由。MOxyDBA分析与解答(1)略(2)直线y=-2x+12与x轴交点为B(6,0)与y轴交点为(0,12)∴OA=12,OB=6,AB=∵△AMD∽△AOB∴AM/AB=DM/OB∴AM=10∴M(0,2)∴根据题意可推导出所求的抛物线解析式为y=－2x2－10x+2MOxyDBA(3)由抛物线形状可判断,点P若存在,只能在y

5、轴左侧的抛物线上,且只有6种可能(如图2所示)∵OA:OB=2:1∴P1A=P3M=2AM=20,P2A=P4M=1/2AM=5∴P1(-20，12)、P2（-5，12）、P3（-20，2）P4（-5，2）下面来求P6点的坐标显然MP6=MD=作P6HAM,H为垂足由P6H2=MH·MA,得MH=（)2/10=2由P6H2=MH·AH，得P6H==4∴P6（－4，4），同理可得P5（－4，10）经检验,只有P4、P5的坐标满足y=－2x2－10x+2∴在抛物线y=－2x2－10x＋2上存在点P（－5,2)或P(－4,10),使得以P、AM三

6、点为顶点的三角形与△AOB相似∟xyAMP1P2P3P4P5P6HD(图1)(图2)O1262⊥.热点例题精讲例题3:设二次函数y=ax2+bx+c(a>0,b>0)的图象经过(0,y1),(1,y2)和(-1,y3)三点,且满足y12=y22=y32=1.(1)求这个二次函数的解析式(2)设这个二次函数的图象与x轴的两个交点为A(x1,0),B(x2,0),x1

7、由。AOBCDxy精典习题挑战:1.已知二次函数y=x2-2(m－1)x－1－m的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0),x1<0

8、(X1,X2)在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（1，2）、B（0.5,1）、C（1，1）问是否存在点M，使p+q=5/4，若存在，求出点M的坐标；若不存在，