利用导数解决一类存在性问题

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1、1．设函数（1）当时，求的极值；（2）当时，求的单调区间；（3）当时，对任意的正整数，在区间上总有个数使得成立，试求正整数的最大值。解：（1）函数的定义域为……………………………………1分当时，，∴………………2分由得随变化如下表：—0+↘极小值↙故，，没有极大值.…………………………4分（2）由题意，令得，………………………………………………6分若，由得；由得…………7分若，①当时，，或，；，②当时，③当时，或,;，综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为单调递增区间为……………………………………

2、………………………………10分（3）当时，∵，∴∴，………………………………………………12分由题意，恒成立。令，且在上单调递增，，因此，而是正整数，故，所以，时，存在，时，对所有满足题意，∴2．2011江西19设（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.解：（1）已知，，函数在上存在单调递增区间，即导函数在上存在函数值大于零的部分，（2）已知0

3、不等式≥2x成立，其中为f(x)的导函数，求实数a的取值范围。3．已知函数f(x)=ln(x+1)+ax.(1)当x=0时,函数f(x)取得极大值，求实数a的值。(2)若存在x∈[1,2],使不等式≥2x成立，其中为f(x)的导函数，求实数的取值范围。(3)求函数f(x)的单调递增区间。解：(1)(3)略(2)∵≥2x，∴，∴a≥2x-