对于一类任意性存在性问题的研究.doc

《对于一类任意性存在性问题的研究.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、对于一类任意性存在性问题的研究1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，例1，设函数f（x）=xekx（k≠0），（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）讨论函数f（x）的单调性；（3）设g（x）=x2﹣2bx+4，当k=1时，若对任意x1∈R，存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；二次函数在闭区间上的最值；利用导数研究函数的单调性．1676013专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）f′（x）=（1+kx）ekx，由f（0）=0，且f

2、′（0）=1，能求出曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．（2）令f′（x）=（1+kx）ekx＞0，所以1+kx＞0，由此利用k的符号进行分类讨论，能求出f（x）的单调性．（3）当k=1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，所以对任意x1∈R，有f（x1）≥f（﹣1）=﹣，已知存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），所以﹣≥g（x2），x2∈[1，2]，由此能求出实数b取值范围．解答：解：（1）f′（x）=（1+kx）ekx，因为f（0）=0，且f′（0）=1，所以曲线y=f（

3、x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y=x．（4分）（2）令f′（x）=（1+kx）ekx＞0，所以1+kx＞0，当k＞0时，x＞﹣，此时f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增；当k＜0时，x＜﹣，此时f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减．（8分）（3）当k=1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，所以对任意x1∈R，有f（x1）≥f（﹣1）=﹣，又已知存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），所以﹣≥g（x2），x2∈[1，2]，即存在x∈[1，

4、2]，使g（x）=x2﹣2bx+4≤﹣，即2b≥x+，即因为当x∈[1，2]，x+∈[4+，5+]，所以2b≥4+，即实数b取值范围是b≥．（14分）点评：本题考查切线方程的求法，考查函数单调性的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法．解题时要认真审题，仔细解答．例2，已知函数f（x）=（m，n∈R）在x=1处取到极值2．（1）求f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=ax﹣lnx．若对任意的x1∈[，2]，总存在唯一的x2∈[，e]（e为自然对数的底），使得g（x2）=f（x1），求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上

5、函数的最值；函数在某点取得极值的条件．1676013专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导函数，利用f（x）在x=1处取到极值2，可得f′（1）=0，f（1）=2，由此可求f（x）的解析式；（2）确定f（x）在上单调递增，在（1，2）上单调递减，从而可得f（x）的值域；依题意，记，从而可得，再分类讨论，确定g（x）在M上单调性，即可求a取值范围．解答：解：（1）…（2分）∵f（x）在x=1处取到极值2，∴f′（1）=0，f（1）=2∴，解得m=4，n=1，故…（5分）（2）由（1）知，故f（x）在上单调递增，在（1，2）

6、上单调递减，由，故f（x）的值域为…（7分）依题意，记，∵x∈M∴（ⅰ）当时，g'（x）≤0，g（x）在M上单调递减，依题意由，得，…（8分）（ⅱ）当时，e＞当时，g′（x）＜0，当时，g′（x）＞0依题意得：或，解得，…（10分）（ⅲ）当a＞e2时，，此时g′（x）＞0，g（x）在M上单调递增，依题意得，即，此不等式组无解…（11分）．综上，所求a取值范围为…（14分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度．例3，若在上至少存在一个，使得，求m得取

7、值范围解，令m《0，x在上时，很容易观察，故此时不存在m〉0时易观察，在单调递增，解得