任意性与存在性问题探究

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1、函数中任意性和存在性问题探究2011-12-22高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点,下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究一、相关结论:结论1:;【如图一】结论2:;【如图二】结论3:;【如图三】结论4:;【如图四】结论5:的值域和的值域交集不为空;【如图五】【例题1】:已知两个函数;(1)若对,都有成立,求实数的取值范围;(2)若,使得成立,求实数的取值范围;(3)若对,都有成立,求实数的取值范围;解:(1)设,(1)中的问题可转化为:时,恒成立,即。;当变化时,的变化情况列表如下:-3

2、(-3,-1)-1(-1,2)2(2,3)3(x)+0-0+h(x)k-45增函数极大值减函数极小值增函数k-9因为,所以,由上表可知,故k-45≥0,得k≥45,即k∈[45,+∞).小结:①对于闭区间I,不等式f(x)k对x∈I时恒成立[f(x)]min>k,x∈I.②此题常见的错误解法:由[f(x)]max≤[g(x)]min解出k的取值范围.这种解法的错误在于条件“[f(x)]max≤[g(x)]min”只是原题的充分不必要条件,不是充要

3、条件,即不等价.(2)根据题意可知,(2)中的问题等价于h(x)=g(x)-f(x)≥0在x∈[-3,3]时有解,故[h(x)]max≥0.由(1)可知[h(x)]max=k+7,因此k+7≥0,即k∈[7,+∞).小结:①对于闭区间I,不等式f(x)k对x∈I时有解[f(x)]max>k,x∈I.②此题常见的错误解法:由[f(x)]min≤[g(x)]min解出k的取值范围.这种解法的错误在于条件“[f(x)]min≤[g(x)]min”既不是是

4、原题的充分要条件,也不是必要条件.(3)根据题意可知,(3)中的问题等价于[f(x)]max≤[g(x)]min,x∈[-3,3].由二次函数的图像和性质可得,x∈[-3,3]时,[f(x)]max=120-k.仿照(1),利用导数的方法可求得x∈[-3,3]时,[g(x)]min=-21.由120-k≥-21得k≥141,即k∈[141,+∞).说明:这里的x1,x2是两个互不影响的独立变量.从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“x”恒成立,还是“x”使之成立,同时还要看清不等式两边是

5、同一个变量,还是两个独立的变量,然后再根据不同的情况采取不同的等价条件,千万不要稀里糊涂的去猜..【例题2】:(2010年山东理科22)已知函数;(1)当时,讨论的单调性;(2)设,当时,若对,,使,求实数的取值范围;解:(1)(解答过程略去,只给出结论)当a≤0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;当a=时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;当0

6、)=0可得x1=1,x2=3.因为a=∈(0,),x2=3(0,2),结合(1)可知函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增,所以f(x)在(0,2)上的最小值为f(1)=-.由于“对x1∈(0,2),x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2)”等价于“g(x)在[1,2]上的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值f(1)=-”.(※)又g(x)=(x-b)2+4-b2,x∈[1,2],所以①当b<1时,因为[g(x)]min=g(1)=5-2b>0,此时与(※)矛盾;②当b∈[1,2]时,

7、因为[g(x)]min=4-b2≥0,同样与(※)矛盾;③当b∈(2,+∞)时,因为[g(x)]min=g(2)=8-4b.解不等式8-4b≤-,可得b≥.综上,b的取值范围是[,+∞).二、相关类型题: 〈一〉、型;  形如型不等式,是恒成立问题中最基本的类型,它的理论基础是“在上恒成立,则在x∈D上恒成立,则”.许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型.  例1:已知二次函数,若时,恒有,求实数a的取值范围.  解:,∴;即;  当时,不等式显然成立,  ∴a∈R.  当时,由得:,而  . ∴.  又∵,

8、∴,综上得a的范围是。  〈二〉、型  例2已知函数,若对,都有成立,则的最小值为____.  解∵对任意x∈R,不等式恒成立,  ∴分别是的最小值和最大值.  对于函数,取得最大值和最小值的两点之间最小距离是π,即半个周期.  又函数的周期为4,∴的最小值为2.  〈三〉、.型  例3:(2005湖北)在这四个函数中,当时,使恒成立的函数的个数是(  )  A.0   

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