任意性与存在性问题探究

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1、函数中任意性和存在性问题探究2011-12-22高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究一、相关结论：结论1：；【如图一】结论2：；【如图二】结论3：；【如图三】结论4：；【如图四】结论5：的值域和的值域交集不为空；【如图五】【例题1】：已知两个函数;(1)若对,都有成立，求实数的取值范围；(2)若,使得成立，求实数的取值范围；(3)若对,都有成立，求实数的取值范围；解：（1）设,（1）中的问题可转化为：时，恒成立，即。；当变化时，的变化情况列表如下：-3

2、(-3,-1)-1(-1,2)2(2,3)3(x)+0－0+h(x)k-45增函数极大值减函数极小值增函数k-9因为,所以，由上表可知，故k-45≥0，得k≥45,即k∈[45,+∞).小结：①对于闭区间I，不等式f(x)k对x∈I时恒成立[f(x)]min>k,x∈I.②此题常见的错误解法：由[f(x)]max≤[g(x)]min解出k的取值范围.这种解法的错误在于条件“[f(x)]max≤[g(x)]min”只是原题的充分不必要条件，不是充要

3、条件，即不等价.（2）根据题意可知，（2）中的问题等价于h(x)=g(x)－f(x)≥0在x∈[-3,3]时有解,故[h(x)]max≥0.由（1）可知[h(x)]max=k+7，因此k+7≥0，即k∈[7,+∞).小结：①对于闭区间I，不等式f(x)k对x∈I时有解[f(x)]max>k,x∈I.②此题常见的错误解法：由[f(x)]min≤[g(x)]min解出k的取值范围.这种解法的错误在于条件“[f(x)]min≤[g(x)]min”既不是是

4、原题的充分要条件，也不是必要条件.(3)根据题意可知，（3）中的问题等价于[f(x)]max≤[g(x)]min，x∈[-3,3].由二次函数的图像和性质可得,x∈[-3,3]时,[f(x)]max=120－k.仿照（1），利用导数的方法可求得x∈[-3,3]时,[g(x)]min=－21.由120－k≥－21得k≥141,即k∈[141,+∞).说明：这里的x1,x2是两个互不影响的独立变量.从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“x”恒成立，还是“x”使之成立，同时还要看清不等式两边是

5、同一个变量，还是两个独立的变量,然后再根据不同的情况采取不同的等价条件,千万不要稀里糊涂的去猜..【例题2】：(2010年山东理科22)已知函数;(1)当时，讨论的单调性；（2）设，当时，若对，,使，求实数的取值范围；解：（1）（解答过程略去，只给出结论）当a≤0时，函数f(x)在（0,1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当a=时，函数f(x)在（0，+∞）上单调递减；当0

6、）=0可得x1=1,x2=3.因为a=∈（0,），x2=3（0,2）,结合（1）可知函数f(x)在（0,1）上单调递减，在（1,2）上单调递增，所以f(x)在（0,2）上的最小值为f(1)=－.由于“对x1∈（0,2），x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2)”等价于“g(x)在[1,2]上的最小值不大于f(x)在（0,2）上的最小值f(1)=－”.（※）又g(x)=(x－b)2+4－b2,x∈[1,2],所以①当b<1时，因为[g(x)]min=g(1)=5－2b>0,此时与（※）矛盾；②当b∈[1,2]时,

7、因为[g(x)]min=4－b2≥0，同样与（※）矛盾；③当b∈（2，+∞）时，因为[g(x)]min=g(2)=8－4b.解不等式8－4b≤－，可得b≥.综上，b的取值范围是[,+∞).二、相关类型题：　〈一〉、型；　　形如型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“在上恒成立，则在x∈D上恒成立，则”.许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型.　　例1：已知二次函数，若时，恒有，求实数a的取值范围.　　解：，∴；即；　　当时，不等式显然成立，　　∴a∈R.　　当时，由得：，而　　.　∴.　　又∵，

8、∴，综上得a的范围是。　　〈二〉、型　　例2已知函数，若对，都有成立，则的最小值为____.　　解∵对任意x∈R，不等式恒成立，　　∴分别是的最小值和最大值.　　对于函数，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是π，即半个周期.　　又函数的周期为4，∴的最小值为2.　　〈三〉、.型　　例3：(2005湖北)在这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是(　　)　　A.0