导数中的任意性与存在性问题探究

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1、函数中任意性和存在性问题探究高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究一、相关结论：结论1：€[a,/?],Vx2G[c,d],)>g(x2)«[/(^)]min〉[g(x)]max；【如图一】结论2：3xjG[a,b]93x2G[c9d],f(x{)>g(x2)[/(x)]max>[g(x)]min;【如图二】结论3：Vxjg[a,b],3x2€[c?J],/(Xj)>g(x2)<=>[f(x)]min>[^(x)]min；【如图三】结论4：3Xjg[«,/?],Vx2g[c,dlf(x})>g(x2)<

2、=>[/(x)]max〉[&(兀)]叭；【如图四】结论5:北w[d,b],女2丘匕〃]，/3)=8(兀2)0/(兀)的值域和g(x)的值域交集不为空;【如图五】g(x)±K(“)上隈flx)下fR用二g(x)±K/(")下厲心)上限(g(x)Tfn图三图匹图五例题1：己知两个函数/(x)=8x2+16x-R,g(兀)=2x3+5兀$+4x,xe[-3,3],^eR;(1)若对Vxe[-3,3],®有/(x)

3、g)成立，求实数£的収值范围；解：(1)设〃(兀)=g(x)~f(x)=2x3一3〒一12兀+匕(1)中的问题可转化为:xg[-3,3]时,h(x)>0恒成立，即[/?(x)]min>0oh(x)=6x2-6x-12=6(%-2)(x+l)；当兀变化时，/?(%),/?'(%)的变化情况列表如K：■3(-3,-1)■1(-1,2)2(2,3)3力'(X)+0—0+h(x)k-45增函数极大值减函数极小值增函数k-9因为/2(_i)=k+7/(2)=k-20,所以，由上表可知[/2(兀)]斷=比-45,故k-4530,得k245,即kG[45,+8).小结：①对于

4、闭区间I,不等式f(x)[f(x)]maxk对XEI吋恒成立O[f(x)]min>k,XeI.②此题常见的错误解法：由[f(X)]nwx^[g(X)]min解岀k的収值范围.这种解法的错误在于条件“贞刃]唤£[亦)爲”只是原题的充分不必要条件，不是充要条件，即不等价.(2)根据题意可知，(2)屮的问题等价于h(x)=g(x)—f(x)20在xW[・3,3]时有解，故[1讹)]唤M0.由(1)可知[h(x)]max=k+7,因此k+7N0,即ke[-7,+oo).(3)根据题意可知,(3)中的问题等价于[f(

5、x)]niax^[g(x)]niin,xW[・3,3].由二次函数的图像和性质可得,xW[・3,3]时,[f(x)]inax=120-k.仿照(1),利用导数的方法可求得XG卜3,3]时，[g(X)]min=—21.由120—kM—21得心41,即kW[141,+8).说明：这里的X

6、,X2是两个互不影响的独立变量.从上面三个问题的解答过程町以看出，对于一个不等式一定耍看清是对“Vx”恒成立，还是“mx”使之成立，同时还要看清不等式两边是同一个变量，还是两个独立的变量，然后再根据不同的情况采取不同的等价条件，「万不要稀里糊涂的去猜••—a例题2：(2010年山

7、东理科22)己知函数/(X)=lnx-Q+l(a€R);⑴当a<-时，讨论/(劝的单调性；(2)设g(x)=x2-2bx+4,当a=*时，若对Vx,g(0,2),3x2g[1,2],使/(x,)>^(x2),求实数b的取值范围;解：(1)(解答过程略去，只给出结论)当aWO时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增；当玄=丄时,函数f(x)在(0,+8)上单调递减;当0

8、—罕已~,a=—Ihf,由广(x)=0可得Xi=1,X2=3.xxJC4因为a=丄丘(0,-),X2=3纟(0,2),结合(1)可知函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,2)42上单调递增，所以f(x)在(0,2)上的最小值为f(l)=2由于“对Vx£(0,2),3x2e[l,2],^f(x1)^g(x2)w等价于“g(x)在[1,2]上的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值f(l)=-丄二俣)又g(x)=(x-b)2+4-b2,xe[l,2],^r以①当b0,此时少X)矛盾；②当be[l,2]时，因为

9、[g(x)hin=4—b