中考数学教学指导：二次函数与存在性问题

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1、二次函数与存在性问题一、与等腰三角形、直角三角形相关【例1】如图，在梯形ABCD中，AD//BC,AD=3fDC=5,BC=10,梯形的高为4.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点岀发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为f（秒）.（1）当MN//AB时，求r的值；（2）试探究：r为何值时，为等腰三角形.原图【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边04在y轴的正半轴上，0C在x轴的正半轴上,Q4=l,OC=2,点D在边OC上且0£）=巴.4（1）求直线AC的解析式.（2）在y轴上是否存在点P,直线PD与矩形对角

2、线AC交于点M,使得ADMC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.••••（3）抛物线j=-x2经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点D和点E（点E在y轴正半轴上），且△ODE沿DE折叠后点O落在边AB上O'处？【例3】如图，己知抛物线G:,y=6/（x-2）2-5的顶点为F,与兀轴相交于A,3两点（点A在点B的左边）,点A的横坐标是-1•（1）求P点坐标及a的值；（2）如图1,抛物线C2与抛物线G关于兀轴对称，将抛物线C2向左平移，平移后的抛物线记为G，C3的顶点为M,当点关于点A成中心对称时，求C3的解析式y=a（x-h）2+k；（3）如图2,点Q

3、是兀轴负半轴上一动点，将抛物线G绕点Q旋转180。后得到抛物线G・抛物线口的顶点为N,与兀轴相交于£、F两点(点£在点F的左边)，当以点P、N、£为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点N的坐标.5【例4】在平面直角坐标系兀0_y中，A、B为反比例函数y=-(x>0)的图象上两点，A点的横坐标与B点的纵坐标均为1,将y=-(x>0)的图象绕原点0顺时针旋转90。，A点的对应点为〃点的对应点为.(1)求旋转后的图象解析式；(2)求4、X点的坐标；(3)连结动点M从A点出发沿线段A氏以每秒1个单位氏度的速度向终点X运动；动点N同时从歹点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，当其中一个点停止运

4、动时另一个点也随之停止运动.设运动的时间为/秒，试探究：是否存在使为等腰直角三角形的f值，若存在，求出f的值；若不存在，说明理由.【例5】已知抛物线y=ax2+bx+2与x轴相交于点A(jq,0),B(x2,0)(x(

5、点(点4在3的左侧)，与y轴相交于点C,顶点为D.(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；(2)连接BC,与抛物线的对称轴交于点点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF〃/)E交抛物线于点F,设点P的横坐标为加：①用含加的代数式表示线段PF的长，并求出当加为何值时，四边形PEDF为平行四边形？②设ABCF的面积为S,求S与加的函数关系式.【例7】在平而直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4,0),3(0,-4),C(2,0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为加，AAMB的面积为S.求S关于加的函数关系式，并求出S的最大值.(3)若点P

6、是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P,Q,B,O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.3【例8】已知：如图，在平而直角坐标系xOy中，直线尸-卞+6与x轴、y轴的交点分别为A、B,将乙OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D,在直线BC上是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为卩，Q为线段上一点，直接写出QA-QO

7、的収值范围.三、与梯形相关【

8、例9】如图，在菱形ABCD中，AB=2cm,ABAD=60°,E为CD边中点，点P从点A开始沿AC方向以每秒2^3cm的速度运动，同时，点Q从点D出发沿方向以每秒1加的速度运动，当点P到达点C时，P,Q同时停止运动，设运动的时间为兀秒.（1）当点P在线段40上运动时.①请用含兀的代数式表示OP的长度；②若记四边形PBEQ的面积为y,求y关于兀的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）;（2）显然，