二次函数中考存在性问题专题

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1、二次函数中考存在性问题专题1.如图：抛物线经过A（－3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）已知AD＝AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ＋MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（1）解法一：设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－4)因为B（0，4）在抛物线上，所以4＝a(0＋3)(0－4)解得＝

2、－1/3，所以抛物线解析式为（2）连接DQ，在Rt△AOB中，所以AD＝AB＝5，AC＝AD＋CD＝3＋4＝7，CD＝AC－AD＝ 7–5＝2因为BD垂直平分PQ，所以PD＝QD，PQ⊥BD，所以∠PDB＝∠QDB因为AD＝AB，所以∠ABD＝∠ADB，∠ABD＝∠QDB，所以DQ∥AB所以∠CQD＝∠CBA．∠CDQ＝∠CAB，所以△CDQ∽△CAB，即所以AP＝AD–DP＝AD–DQ＝5–＝，，所以t的值是（3）答对称轴上存在一点M，使MQ＋MC的值最小理由：因为抛物线的对称轴为，所以A（－3，0），C（4，0）两点关于直线对称，连接AQ交直线于点M

3、，则MQ＋MC的值最小过点Q作QE⊥x轴，于E，所以∠QED＝∠BOA＝90，DQ∥AB，∠BAO＝∠QDE，△DQE∽△ABO，即所以QE＝，DE＝，所以OE＝OD＋DE＝2＋＝，所以Q（，）设直线AQ的解析式为则由此得，所以直线AQ的解析式为联立由此得所以M则：在对称轴上存在点M，使MQ＋MC的值最小．2.（沈阳）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1，OB=，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转600后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y

4、=ax2+bx+c过点A，E，D．（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）点在轴上理由如下：连接，如图所示，在中，，，，由题意可知：点在轴上，点在轴上．（2）过点作轴于点，在中，，点在第一象限，点的坐标为由（1）知，点在轴的正半轴上点的坐标为点的坐标为抛物线经过点，yxODECFABM题意，将，代入中得解得所求抛物线表达式为：（3）存在符合

5、条件的点，点．理由如下：矩形的面积以为顶点的平行四边形面积为．由题意可知为此平行四边形一边，又边上的高为2依题意设点的坐标为点在抛物线上解得，，，以为顶点的四边形是平行四边形，，，当点的坐标为时，点的坐标分别为，；当点的坐标为时，点的坐标分别为，．3.（芜湖）如图，已知，，现以A点为位似中心，相似比为9:4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．（1）求C点坐标及直线BC的解析式;（2）抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的

6、点P．解：（1）过C点向x轴作垂线，垂足为D，由位似图形性质可知：△ABO∽△ACD，∴．由已知，可知：．∴．∴C点坐标为．直线BC的解析是为：，化简得：（2）设抛物线解析式为，由题意得：，解得：∴解得抛物线解析式为或．又∵的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去．∴满足条件的抛物线解析式为（准确画出函数图象）（3）将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，设P到直线AB的距离为h，故P点应在与直线AB平行，且相距的上下两条平行直线和上．由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为．如图，设与y轴交于E点，过E作EF⊥BC于F点，在R

7、t△BEF中，，∴．∴可以求得直线与y轴交点坐标为同理可求得直线与y轴交点坐标为∴两直线解析式；．根据题意列出方程组：⑴；⑵∴解得：；；；∴满足条件的点P有四个，它们分别是，，，4.（襄樊）如图15，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=8，，将矩形OABC沿直线AC折叠，使点B落在D处，AD交OC于E．（1）求OE的长；（2）求过O，D，C三点抛物线的解析式；（3）若F为过O，D，C三点抛物线的顶点，一动点P从点A出发，沿射线AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当运动时间t（秒）为何值时，直线PF把ΔFAC分成面积之比为1：3的两部分？解：（1）四边

8、形是矩形，，．又，．．，即，解之，得．（2）．如图4，过作于，．，．，．．因点为