中考数学复习指导：探索以抛物线为原型的点的存在性问题

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1、探索以抛物线为原型的点的存在性问题如图1,已知抛物线与X轴交于点A(—1,O)、B(3,0),与y轴交于点C(0,—3),求这条抛物线对应的函数解析式.本题易求得抛物线的解析式为：y=x~—2,x—3现以此抛物线为原型，从儿个方而进行拓广探索，希望得到一些有益的启示.图1一、面积最大探究1连结BC,在抛物线对称轴的右侧抛物线上是否存在点P,使ABCP的面积最大？解析因为B、C两点已定，所以只有当BCP中BC边上的高最大时，PBC的面积最大•于是作直线厶〃BC,且使直线厶与抛物线只有一个交点，这个交点就是ABCD面积最大时的点P。过点P

2、作y轴的垂线，垂足为E(如图1).设P(a,a2-2a-3)S^BCP=SpEOB_SBOC_S、pce10119—x(€z+3)x—2d—3—x3x3—d(—+2a)Sabcp最大27315S的最大值二瓦，此时P(〒一才)二、而积相等(或倍半关系)探究2线上是否存在点Q,使以3C为底的三角形面积是ABC面积的一半?解析利用“等（同）底等（同）高的三角形面积相等”.通过计算，S“bc=6,BC=3迥,要使S、bcq=+Smbc=3,BC边上的高必须为血。作CQ丄BC交抛物线于点Q,计算知CQ=近,2（1,4）o如图2,过点Q作BC的平

3、行线QE,交抛物线于另一点Q,交y轴于点E,易得直线EQ为y=兀一5,E（0,-5）o图2将直线EQ向上平移4个单位，得y=x-l,交抛物线于另两点Q,再求直线与抛物线的交点。故存在4个符合条件的点0为：三、周长最小（或路径最短）探究3在抛物线的对称轴上是否存在点E,使AACE的周长最小？解析作点A关于抛物线对称轴兀=1的对称点（就是点B）,连结BC,交抛物线的对称轴于点E,点E即为所求（如图3）o可求直线BC的解析式为歹二兀-3,当兀=1吋，y=-2,所以E（l,-2）。四、直角三角形探究4如图4,抛物线顶点为D,DE丄兀轴于点E,M(

4、gO)是x轴上一动点，N是线段功上一点，若ZMNC=90°，请指出实数加的变化范围，并说明理由。图4解析作乙MNC，使点M在兀轴上，点川在劭上，过点C作CF丄ED于点F。CFNE由4CFN□NEM,得—=—-NFME设NE=n,Af(7?2,0)•・・D(l,-4)，C(0,-3),DE丄兀轴/.CF=1,NF=n,FN=3-n:.CF=1,NF=n,FN=3—n,ME二一加+113-n•—•■—n-m+1即n2-3/?+(l-m)=0•・・关于"的方程有解，••.△no即(一3尸一4(1一加)m>——4•/CF=FD=1,CF丄DE:

5、.ZCDF=45°・・・ZMNC=90°・・•ZEDM'=45°•••ED=EM'=4—

6、,m一3）,G（m,m2一2m一3）由（加$一2m-3）-（m-3）=4解得加=4或m=-l（舍去）・••点G的坐标为（4,5）六、等腰三角形探究6线与y轴交于点C,顶点为Q,连结CD。第四象限的抛物线上是否存在点P,使得APCD是等腰三角形?解析如图6,分PC=PD、CP=CD.DC=DP三种情况考虑。(1)当PC=PD吋，点P在CD的中垂线上。•・・C(0,3)、D(l,—4),易求线段CD的中点PF与y轴的交点E(0,4),得畑==x~4o由—2x—3—x—4解得兀二_3±V5_2或谆宁(2)当CP=CD=血时，点P位于第三彖限，不

7、合题意.(3)当DC=DP时，点P与点C关于抛物线的对称轴対称，P(2,—3).图6综上，存在满足条件的点P为：P(呼，于戶(呼，三盘，或陀-3)七、平行四边形探究7点E坐标为(2,-3)，点F是无轴上的一点，抛物线上是否存在点G,使以A、E、F、G四点为顶点的四边形是平行四边形？解析如图7,根据“一组对边平行且相等”可知，这样的点G有3个，分别是：G(0,-3),G2(1-x/7,3),G3(l+V7,3)八、相似三角形探究8抛物线顶点为D.如图8(1),连结AC,BD,并延长交于点E,求ZE的度数；如图8(2),己知点P(-4,0),

8、点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M,当ZPMA=ZE时，求点Q的坐标。图8解析⑴ZACB=ZE+ZCBE=ZACO+ZBCO又AOC与ADCB相似，(空=£2且乙4OC=ZB