中考数学培优专题4--抛物线存在性问题

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1、抛物线中动形存在性一、要点分析：抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：(a≠0)；2、顶点式：y=a(x—h)2＋k；3、交点式：y=a(x—x1)(x—x2)，这里x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两个实根。解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。二、题型解析：1.抛物线中三角形例1.如图．抛物线经过A（－1，0），C（2，）两点，与x轴交于另一点B．(1)求此地物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为M

2、，点P为线段OB上一动点(不与点B重合)，点Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ=，求y2与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(3)在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m，x=n分别与抛物线交于点E，G，与(2)中的函数图象交于点F，H．问四边形EFHG能否为平行四边形?若能，求m，n之间的数量关系；若不能，请说明理由．备用图-11-解：(1)∵拋物线y1=ax2-2ax+b经过A(-1，0)，C(0，)两点，∴，∴a=-，b=，∴拋物线的解析式为y1=-x2+x+。

3、PMQABOyxN(2)作MN^AB，垂足为N。由y1=-x2+x+易得M(1，2)，N(1，0)，A(-1，0)，B(3，0)，∴AB=4，MN=BN=2，MB=2，ÐMBN=45°。根据勾股定理有BM2-BN2=PM2-PN2。∴(2)2-22=PM2=-(1-x)2…j，又ÐMPQ=45°=ÐMBP，∴△MPQ~△MBP，∴PM2=MQ´MB=y2´2…k。由j、k得y2=x2-x+。∵0£x<3，∴y2与x的函数关系式为y2=x2-x+(0£x<3)。OEFGHxy(3)四边形EFHG可以为平行

4、四边形，m、n之间的数量关系是m+n=2(0£m£2，且m¹1)。∵点E、G是抛物线y1=-x2+x+分别与直线x=m，x=n的交点，∴点E、G坐标为E(m，-m2+m+)，G(n，-n2+n+)。同理，点F、H坐标为F(m，m2-m+)，H(n，n2-n+)。∴EF=m2-m+-(-m2+m+)=m2-2m+1，GH=n2-n+-(-n2+n+)=n2-2n+1。∵四边形EFHG是平行四边形，EF=GH。∴m2-2m+1=n2-2n+1，∴(m+n-2)(m-n)=0。由题意知m¹n，∴m+n=2(0

5、£m£2，且m¹1)。因此，四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是m+n=2(0£m£2，且m¹1)。练习1:如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A-11-（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB＝90º的点P的坐标．E2.抛物线中四边形:

6、例2.已知抛物线交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点，交y轴于点C，其顶点为D．（1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；（2）连接BC，过点O作直线OE⊥BC交抛物线的对称轴于点E．求证：四边形ODBE是等腰梯形；（3）抛物线上是否存在点Q，使得△OBQ的面积等于四边形ODBE的面积的？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．-11-【答案】（1）求出：，，抛物线的对称轴为：x=2(2)抛物线的解析式为，易得C点坐标为（0，3），D点坐标为（2，-1）设抛物线的对称轴DE交x轴于点F，易得F点坐标

7、为（2，0），连接OD，DB，BE∵OBC是等腰直角三角形，DFB也是等腰直角三角形，E点坐标为（2，2），∴∠BOE=∠OBD=∴OE∥BD∴四边形ODBE是梯形………………5分在和中，OD=，BE=∴OD=BE∴四边形ODBE是等腰梯形………………7分(3)存在，………………8分由题意得：………………9分设点Q坐标为（x，y），由题意得：=∴当y=1时，即，∴，，∴Q点坐标为（2+，1）或(2-，1)………………11分当y=-1时，即，∴x=2，∴Q点坐标为（2，-1）综上所述，抛物线上存在三点Q（

8、2+，1），Q(2-，1)，Q（2，-1）EFQ1Q3Q2使得=．………………12分-11-xlQCPAOBHRy练习2:如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，连结交轴于，直线交轴于．（1）求证：点为线段的中点；（2）求证：①四边形为平行四边形；②平行四边形为菱形；（3）除点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由．-11-2.抛物线中圆:例3、如图，在直角坐