专题3.11 抛物线背景下特殊三角形存在性问题的解题策略-备战2018年中考数学一轮微专题突破（原卷版）

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1、抛物线背景下特殊三角形存在性问题的解题策略【专题综述】动态问题是近几年来中考数学的热点题型，常与存在性问题结合，这类问题综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，解题时要特别关注运动和变化过程中的不变量、不变关系和特殊关系．本文以中考题为例，对二次函数背景下，一些特殊三角形存在性问题的解题策略进行探究．【方法解读】一、探究等腰三角形的存在性例1如图1，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－1，0）、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．[来源:Z

2、xx

3、k.Com](1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动

4、点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．解(1)易得y＝－x2＋2x－3；(2)分析由图知，A，B两点关于抛物线的对称轴对称，那么根据对称性以及两点之间线段最短可知，若连结BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．易求得BC的函数关系式为y＝－x＋3，当x＝1时，y＝2，所以P(1，2)；评注例1(3)中，由于△MAC的腰和底不明确，因此要分上述三种情况来讨论．可先设出M的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再分别按三种

5、情况列式求解．同学们可根据上述解题思路分析解决下题：如图2，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(0，8)．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒(t>0)．[来源:学*科*网](1)当t＝3秒时，直接写出点Ⅳ的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；(2)在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求

6、出最大值；若不存在，请说明理由；(3)当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？二、探究直角三角形的存在性例2如图3，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求直线BC的函数表达式；(3)点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．①当线段PQ＝AB时，求tan∠CED的值；②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．[来源:Z#xx#k.C

7、om]评注例2(3)②中直角三角形的存在性问题有三部曲：先罗列三边，再分类列方程，后解方程检验．罗列三边时，应将三边由同一变量的表达式进行表示，分类列方程的分类标准为直角顶点的不同，求解后注意取舍．三、探究相似三角形的存在性例3如图4，已知二次函数y＝(x＋2)（ax＋b）的图象过点A（－4，3），B(4，4)．(1)求二次函数的解析式：[来源:Z

8、xx

9、k.Com](2)求证：△ACB是直角三角形；(3)若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直戈轴于点H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存

10、在，请说明理由．评注由动点产生的相似三角形问题的一般解题途径为：[来源:学科网ZXXK]①若两个三角形各边均未给出，则应先设所求点的坐标，进而用变量表达式来表示各边的长度，再利用相似关系列方程求解．②求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出其是否为特殊三角形，再根据未知三角形中，已知边与已知三角形中边的对应情形分类讨论．【强化训练】1.（2017辽宁省辽阳市）如图，抛物线与y轴交于点C，点D的坐标为（0，﹣1），在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，则点P的横坐标为（　　）A．　　　　B．　　　

11、　C．　　　　D．或2.（2017山东省莱芜市）二次函数（a＜0）图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，与y轴交于点C，下面四个结论：①16a﹣4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；③a=﹣c；④若△ABC是等腰三角形，则b=﹣．其中正确的有（请将结论正确的序号全部填上）[来源:学科网ZXXK]3.如图，二次函数（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（　　）A．2a﹣b=0B．a+b+c＞0C．3a﹣c=0[来源:学§科§网Z§X§X§K]D．当a

12、=时，△ABD是等腰直角三角形4.已知直线与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线上，能使△AB